- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Tính nguyên hàm dạng: [tex]\int \frac{P(x)dx}{Q(x)}[/tex] ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Nếu đa thức P(x) có bậc lớn hơn (bậc nhỏ hơn thì bỏ qua bước này), ta thực hiện chia đa thức cho Q(x), đến khi nào bậc nhỏ hơn Q(x) thì thôi.
Bước 2: Nếu phần P(x) còn lại là đạo hàm của Q(x) thì lấy nguyên hàm luôn. Nếu không, thì thưc hiện phép đặt, và đồng nhất hệ số. Mục đích để tách phân thức ban đầu, thành các phân thức thành phần có thể lấy được nguyên hàm.
Một số dạng phân thức thành phần dùng đồng nhất hệ số:
1. [tex]\frac{1}{(ax+b)(cx+d)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{cx+d}[/tex]
2. [tex]\frac{Ax+B}{(ax+b)(cx+d)}=\frac{C}{ax+b}+\frac{D}{cx+d}[/tex]
3. [tex]\frac{Ax+B}{(ax+b)^2}=\frac{C}{ax+b}+\frac{D}{(ax+b)^2}[/tex]
4. [tex]\frac{Ax+B}{(ax+b)^2(cx+d)}=\frac{C}{ax+b}+\frac{D}{(ax+b)^2}+\frac{E}{cx+d}[/tex]
5. [tex]\frac{1}{(ax+b)(cx^2+dx+e)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{cx^2+dx+e}[/tex]
....
Tìm các nguyên hàm sau :
1. [tex]I=\int \frac{x^3-x^2+x+1}{x^2+5x+6}dx[/tex]
Thực hiện chia đa thức ta có: [tex]I=\int (x-6+\frac{25x-37}{x^2+5x+6})dx=\int (x-6)dx+\int \frac{25x-37}{x^2+5x+6}dx=\frac{x^2}{2}-6x+\int \frac{25x+37}{x^2+5x+6}dx[/tex]
Tính : [tex]I_1=\int \frac{25x+37}{x^2+5x+6}dx=\int \frac{25x+37}{(x+2)(x+3)}dx[/tex]
Đặt [tex]\frac{25x+37}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}=\frac{(A+B)x+3A+2B}{(x+2)(x+3)}[/tex]
<=>[tex]\left\{\begin{matrix} A+B=25\\ 3A+2B=-37 \end{matrix}\right. <=>A=-13;B=38[/tex]
Vậy thu được nguyên hàm: [tex]I_1=\int (\frac{-13}{x+2}+\frac{38}{x+3})dx=-13ln|x+2|+38ln|x+3|+C[/tex]
2. [tex]I=\int \frac{4}{x^2+2x+5}dx[/tex]
Với bài dạng mẫu không phân tích được thành nhân tử như thế này, ta áp dụng 1 công thức nguyên hàm cơ bản: [tex] \int \frac{1}{x^2+1}=arctan x[/tex]
[tex]I=\int \frac{4}{x^2+2x+5}dx=\int \frac{4dx}{(x+1)^2+4}=\int \frac{4dx}{4((\frac{x}{2}+\frac{1}{2})^2+1)}=\int \frac{2d(\frac{x}{2}+\frac{1}{2})}{(\frac{x}{2}+\frac{1}{2})^2+1}=2arctan(\frac{x}{2}+\frac{1}{2})+C[/tex]
3. [tex]I=\int \frac{x^2dx}{(x-1)(x+1)(x+2)}[/tex]
Khi này bậc của tử nhỏ hơn bậc mẫu, ta thực hiện đồng nhất thức:
[tex]\frac{x^2}{(x-1)(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}[/tex]
<=>[tex]A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x^2-1)=x^2[/tex]
Với các bài có nhiều biểu thức cần đồng nhất thế này, ta thực hiện như sau để tìm ra A,B,C dễ dàng hơn :
Thay từng nghiệm của pt mẫu bằng 0 vào biểu thức, ta có:
+Thay x=-2 có: [TEX]-5C=4<=>C=-4/5[/TEX]
+Thay x=-1 có :[TEX]-2B=1<=>B=-1/2[/TEX]
Thay x=1 có: [TEX]6A=1<=>A=1/6[/TEX]
Như vậy, từ đó ta có thể lấy nguyên hàm được từng thành phần, tương tự như trên.
Bước 1: Nếu đa thức P(x) có bậc lớn hơn (bậc nhỏ hơn thì bỏ qua bước này), ta thực hiện chia đa thức cho Q(x), đến khi nào bậc nhỏ hơn Q(x) thì thôi.
Bước 2: Nếu phần P(x) còn lại là đạo hàm của Q(x) thì lấy nguyên hàm luôn. Nếu không, thì thưc hiện phép đặt, và đồng nhất hệ số. Mục đích để tách phân thức ban đầu, thành các phân thức thành phần có thể lấy được nguyên hàm.
Một số dạng phân thức thành phần dùng đồng nhất hệ số:
1. [tex]\frac{1}{(ax+b)(cx+d)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{B}{cx+d}[/tex]
2. [tex]\frac{Ax+B}{(ax+b)(cx+d)}=\frac{C}{ax+b}+\frac{D}{cx+d}[/tex]
3. [tex]\frac{Ax+B}{(ax+b)^2}=\frac{C}{ax+b}+\frac{D}{(ax+b)^2}[/tex]
4. [tex]\frac{Ax+B}{(ax+b)^2(cx+d)}=\frac{C}{ax+b}+\frac{D}{(ax+b)^2}+\frac{E}{cx+d}[/tex]
5. [tex]\frac{1}{(ax+b)(cx^2+dx+e)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{cx^2+dx+e}[/tex]
....
Tìm các nguyên hàm sau :
1. [tex]I=\int \frac{x^3-x^2+x+1}{x^2+5x+6}dx[/tex]
Thực hiện chia đa thức ta có: [tex]I=\int (x-6+\frac{25x-37}{x^2+5x+6})dx=\int (x-6)dx+\int \frac{25x-37}{x^2+5x+6}dx=\frac{x^2}{2}-6x+\int \frac{25x+37}{x^2+5x+6}dx[/tex]
Tính : [tex]I_1=\int \frac{25x+37}{x^2+5x+6}dx=\int \frac{25x+37}{(x+2)(x+3)}dx[/tex]
Đặt [tex]\frac{25x+37}{(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}=\frac{(A+B)x+3A+2B}{(x+2)(x+3)}[/tex]
<=>[tex]\left\{\begin{matrix} A+B=25\\ 3A+2B=-37 \end{matrix}\right. <=>A=-13;B=38[/tex]
Vậy thu được nguyên hàm: [tex]I_1=\int (\frac{-13}{x+2}+\frac{38}{x+3})dx=-13ln|x+2|+38ln|x+3|+C[/tex]
2. [tex]I=\int \frac{4}{x^2+2x+5}dx[/tex]
Với bài dạng mẫu không phân tích được thành nhân tử như thế này, ta áp dụng 1 công thức nguyên hàm cơ bản: [tex] \int \frac{1}{x^2+1}=arctan x[/tex]
[tex]I=\int \frac{4}{x^2+2x+5}dx=\int \frac{4dx}{(x+1)^2+4}=\int \frac{4dx}{4((\frac{x}{2}+\frac{1}{2})^2+1)}=\int \frac{2d(\frac{x}{2}+\frac{1}{2})}{(\frac{x}{2}+\frac{1}{2})^2+1}=2arctan(\frac{x}{2}+\frac{1}{2})+C[/tex]
3. [tex]I=\int \frac{x^2dx}{(x-1)(x+1)(x+2)}[/tex]
Khi này bậc của tử nhỏ hơn bậc mẫu, ta thực hiện đồng nhất thức:
[tex]\frac{x^2}{(x-1)(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}[/tex]
<=>[tex]A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x^2-1)=x^2[/tex]
Với các bài có nhiều biểu thức cần đồng nhất thế này, ta thực hiện như sau để tìm ra A,B,C dễ dàng hơn :
Thay từng nghiệm của pt mẫu bằng 0 vào biểu thức, ta có:
+Thay x=-2 có: [TEX]-5C=4<=>C=-4/5[/TEX]
+Thay x=-1 có :[TEX]-2B=1<=>B=-1/2[/TEX]
Thay x=1 có: [TEX]6A=1<=>A=1/6[/TEX]
Như vậy, từ đó ta có thể lấy nguyên hàm được từng thành phần, tương tự như trên.
