- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Nhận biết:
Dạng bài này sẽ cho dữ kiện dưới dạng [TEX]f(u(x))=g(x)[/TEX] hoặc [TEX]a.f(x)+b.f(u(x))=g(x)[/TEX], với u(x), g(x) là một đa thức tường minh của x. Và yêu cầu tính: [tex]\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex].
* Cách giải: ta cần tận dụng dữ kiện của đề, do đó phải đặt x=u(t), sau đó đổi cận, đổi vi phân..thu được tích phân của biến t. Vì tích phân không phụ thuộc vào biến, nên sau cùng ta trả biến t về x, từ đó ta có tích phân của hàm [TEX]f(u(x))[/TEX], và ta có thể thay hàm tường minh vào để tính.
* Ví dụ minh họa:
1. Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn: [tex]f(x^3+4x)=x^2+x[/tex]. Tính tích phân: [tex]I=\int_{5}^{16}f(x)dx[/tex].
Giải: đặt [TEX]x=t^3+4t=>dx=(3t^2+4)dt[/TEX].
Đổi cận:[TEX]x=5=>t^3+4t=5<=>t=1[/TEX]
[TEX]x=16=>t^3+4t=16<=>t=2[/TEX]
Như vậy ta thu được tích phân: [tex]I=\int_{1}^{2}(3t^2+4)f(t^3+4t)dt=\int_{1}^{2}(3x^2+4)f(x^3+4x)dx[/tex]
Thay [TEX]f(x^3+4x)=x^2+x[/TEX] ta được:
[tex]I=\int_{1}^{2}(3x^2+4)(x^2+x)dx=\int_{1}^{2}(3x^4+3x^3+4x^2+4x)dx=\frac{2711}{60}[/tex]
2. Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn : [tex]f(x)+3f(1-x)=x^2+2x[/tex] với mọi x. Tính tích phân: [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]
Giải: Đặt 1-x=t=>dx=-dt.
Đổi cận: [TEX]x=0=>t=1[/TEX]
[TEX]x=1=>t=0[/TEX]
Từ đó ta có: [tex]I=-\int_{1}^{0}f(1-t)dt=\int_{0}^{1}f(1-t)dt=\int_{0}^{1}f(1-x)dx[/tex]
Để tận dụng được giả thiết, ta phải làm xuất hiện [TEX]f(x)+3f(1-x)[/TEX].
Vậy: [tex]I+3I=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}3f(1-x)dx=\int_{0}^{1}(x^2+2x)dx=\frac{4}{3}[/tex]
=>[tex]4I=\frac{4}{3}<=>I=\frac{1}{3}[/tex]
Cách 2: Ta thay [TEX]x=1-x[/TEX] thì có: [TEX]f(1-x)+3f(x)=(1-x)^2+2(1-x)[/TEX]
<=>[TEX]f(1-x)+3f(x)=x^2-4x+3[/TEX]
Như vậy ta có hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} f(1-x)+3f(x)=x^2-4x+3\\ 3f(1-x)+f(x)=x^2+2x \end{matrix}\right.[/tex]
Nhân 3 pt (1) rồi trừ cho (2), ta sẽ tìm được [TEX]f(x)=(2x^2-14x+9)/8[/TEX]
Do đó: [tex]I=\int_{0}^{1}\frac{2x^2-14x+9}{8}dx=\frac{1}{3}[/tex]
Kết qủa là tương tự.
*Nhận xét: Cách số 2 thì phải x và u(x) có sự đối xứng mới làm được, tức là khi ta đặt x=u(x), thì ta vẫn có 1 pt của f(x) và f(u(x)). Tiếp theo đó là hệ số gắn với f(x) và f(u(x)) phải khác nhau, như ở trên là 1 và 3. Nếu hệ số như nhau ( 1 vs 1, 2 vs 2....), thì không thể giải được f(x). Lúc đó buộc phải dùng cách 1.
3. Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn: [TEX]f(x)+3x^2f(x^3)=x^2+3x[/TEX] với mọi x. Tính tích phân:
[tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]
Giải: Ở bài này rõ ràng không thể dùng cách thứ 2 trong ví dụ 2. Vì nếu ta thay [TEX]x=x^3[/TEX] thì sẽ có [TEX]f(x^3)[/TEX] và [TEX]f(x^9)[/TEX]. Không đưa về hệ được.
Vậy, lại đặt [TEX]x=t^3=>dx=3t^2dt[/TEX]
Đổi cận: [TEX]x=0=>t=0[/TEX]
[TEX]x=1=>t=1[/TEX]
=> [tex]I=\int_{0}^{1}3t^2f(t^3)dt=\int_{0}^{1}3x^2f(x^3)dx[/tex]
Từ đây ta có: [tex]I+I=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}3x^2f(x^3)dx=\int_{0}^{1}(x^2+3x)dx=\frac{11}{6}[/tex]
=>[tex]2I=\frac{11}{6}<=>I=\frac{11}{12}[/tex]
4. Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn: [tex]f^5(x)+f(x)=x^2[/tex] với mọi x. Tính tích phân: [tex]I=\int_{0}^{2}xf(x)dx[/tex]
Giải: Với bài cho dạng 1 phương trình của f(x) như thế này, đương nhiên ta không thể giải được trực tiếp ra f(x). Ta đặt ẩn phụ với kì vọng tận dụng được giả thiết:
Đặt [TEX]f(x)=t=>t^5+t=x^2=>(5t^4+1)dt=2xdx[/TEX]
Đổi cận: [TEX]x=0=>t=0[/TEX]
[TEX]x=2=>t=1[/TEX]
Vậy thu được tích phân: [tex]2I=\int_{0}^{2}2xf(x)dx=\int_{0}^{1}t(5t^4+1)dt=\frac{4}{3}=>I=\frac{2}{3}[/tex]
Dạng bài này sẽ cho dữ kiện dưới dạng [TEX]f(u(x))=g(x)[/TEX] hoặc [TEX]a.f(x)+b.f(u(x))=g(x)[/TEX], với u(x), g(x) là một đa thức tường minh của x. Và yêu cầu tính: [tex]\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex].
* Cách giải: ta cần tận dụng dữ kiện của đề, do đó phải đặt x=u(t), sau đó đổi cận, đổi vi phân..thu được tích phân của biến t. Vì tích phân không phụ thuộc vào biến, nên sau cùng ta trả biến t về x, từ đó ta có tích phân của hàm [TEX]f(u(x))[/TEX], và ta có thể thay hàm tường minh vào để tính.
* Ví dụ minh họa:
1. Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn: [tex]f(x^3+4x)=x^2+x[/tex]. Tính tích phân: [tex]I=\int_{5}^{16}f(x)dx[/tex].
Giải: đặt [TEX]x=t^3+4t=>dx=(3t^2+4)dt[/TEX].
Đổi cận:[TEX]x=5=>t^3+4t=5<=>t=1[/TEX]
[TEX]x=16=>t^3+4t=16<=>t=2[/TEX]
Như vậy ta thu được tích phân: [tex]I=\int_{1}^{2}(3t^2+4)f(t^3+4t)dt=\int_{1}^{2}(3x^2+4)f(x^3+4x)dx[/tex]
Thay [TEX]f(x^3+4x)=x^2+x[/TEX] ta được:
[tex]I=\int_{1}^{2}(3x^2+4)(x^2+x)dx=\int_{1}^{2}(3x^4+3x^3+4x^2+4x)dx=\frac{2711}{60}[/tex]
2. Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn : [tex]f(x)+3f(1-x)=x^2+2x[/tex] với mọi x. Tính tích phân: [tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]
Giải: Đặt 1-x=t=>dx=-dt.
Đổi cận: [TEX]x=0=>t=1[/TEX]
[TEX]x=1=>t=0[/TEX]
Từ đó ta có: [tex]I=-\int_{1}^{0}f(1-t)dt=\int_{0}^{1}f(1-t)dt=\int_{0}^{1}f(1-x)dx[/tex]
Để tận dụng được giả thiết, ta phải làm xuất hiện [TEX]f(x)+3f(1-x)[/TEX].
Vậy: [tex]I+3I=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}3f(1-x)dx=\int_{0}^{1}(x^2+2x)dx=\frac{4}{3}[/tex]
=>[tex]4I=\frac{4}{3}<=>I=\frac{1}{3}[/tex]
Cách 2: Ta thay [TEX]x=1-x[/TEX] thì có: [TEX]f(1-x)+3f(x)=(1-x)^2+2(1-x)[/TEX]
<=>[TEX]f(1-x)+3f(x)=x^2-4x+3[/TEX]
Như vậy ta có hệ: [tex]\left\{\begin{matrix} f(1-x)+3f(x)=x^2-4x+3\\ 3f(1-x)+f(x)=x^2+2x \end{matrix}\right.[/tex]
Nhân 3 pt (1) rồi trừ cho (2), ta sẽ tìm được [TEX]f(x)=(2x^2-14x+9)/8[/TEX]
Do đó: [tex]I=\int_{0}^{1}\frac{2x^2-14x+9}{8}dx=\frac{1}{3}[/tex]
Kết qủa là tương tự.
*Nhận xét: Cách số 2 thì phải x và u(x) có sự đối xứng mới làm được, tức là khi ta đặt x=u(x), thì ta vẫn có 1 pt của f(x) và f(u(x)). Tiếp theo đó là hệ số gắn với f(x) và f(u(x)) phải khác nhau, như ở trên là 1 và 3. Nếu hệ số như nhau ( 1 vs 1, 2 vs 2....), thì không thể giải được f(x). Lúc đó buộc phải dùng cách 1.
3. Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn: [TEX]f(x)+3x^2f(x^3)=x^2+3x[/TEX] với mọi x. Tính tích phân:
[tex]I=\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]
Giải: Ở bài này rõ ràng không thể dùng cách thứ 2 trong ví dụ 2. Vì nếu ta thay [TEX]x=x^3[/TEX] thì sẽ có [TEX]f(x^3)[/TEX] và [TEX]f(x^9)[/TEX]. Không đưa về hệ được.
Vậy, lại đặt [TEX]x=t^3=>dx=3t^2dt[/TEX]
Đổi cận: [TEX]x=0=>t=0[/TEX]
[TEX]x=1=>t=1[/TEX]
=> [tex]I=\int_{0}^{1}3t^2f(t^3)dt=\int_{0}^{1}3x^2f(x^3)dx[/tex]
Từ đây ta có: [tex]I+I=\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}3x^2f(x^3)dx=\int_{0}^{1}(x^2+3x)dx=\frac{11}{6}[/tex]
=>[tex]2I=\frac{11}{6}<=>I=\frac{11}{12}[/tex]
4. Cho f(x) liên tục trên R thỏa mãn: [tex]f^5(x)+f(x)=x^2[/tex] với mọi x. Tính tích phân: [tex]I=\int_{0}^{2}xf(x)dx[/tex]
Giải: Với bài cho dạng 1 phương trình của f(x) như thế này, đương nhiên ta không thể giải được trực tiếp ra f(x). Ta đặt ẩn phụ với kì vọng tận dụng được giả thiết:
Đặt [TEX]f(x)=t=>t^5+t=x^2=>(5t^4+1)dt=2xdx[/TEX]
Đổi cận: [TEX]x=0=>t=0[/TEX]
[TEX]x=2=>t=1[/TEX]
Vậy thu được tích phân: [tex]2I=\int_{0}^{2}2xf(x)dx=\int_{0}^{1}t(5t^4+1)dt=\frac{4}{3}=>I=\frac{2}{3}[/tex]
