- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,705
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
* Lý thuyết:
- Mục đích của đổi biến, là làm cho nguyên hàm trở nên gọn hơn, có thể tính được.
-Muốn đổi biến sao cho chính xác, thì điều quan trọng là phải nhớ được toàn bộ các nguyên hàm cơ bản. Chỉ cần khoảng vài ngày làm bài tập nguyên hàm thì chúng ta có thể nhớ được hết chúng.
- Cách làm:
+ Đặt f(x) = t, phải thực hiện vi phân 2 vế để đổi vi phân: [TEX]f'(x)dx=dt[/TEX] . Chú ý khi chọn biểu thức của x để đổi biến: Nếu có căn thì 90% là phải đặt cái căn bằng t.
( nếu bên f(x) là 1 căn thức, thì ta thường bình phương, lập phương.. 2 vế để mất căn, sau đó mới vi phân, để biểu thức mới không còn căn nữa, dễ nhìn hơn).
+ Sau khi đổi vi phân thì đổi tất cả các biểu thức có biến x còn lại, thành biểu thức của t.
+ Lấy nguyên hàm với biến t.
+ Khi có kết quả, nhớ trả biến x, không trả biến thì kết quả của bài vẫn là sai.
* Tính các nguyên hàm:
+[tex]\int 2x\sqrt{x^2-1}dx[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{x^2-1}=t=>x^2-1=t^2=>xdx=tdt[/tex]
Ta thu được nguyên hàm: [tex]\int 2t.tdt=\frac{2t^3}{3}+C[/tex]
Trả biến ta được kết quả là : [tex]\int 2x\sqrt{x^2-1}dx=\frac{2\sqrt{(x^2-1)^3}}{3}+C[/tex]
Nếu không bình phương 2 vế mà lấy vi phân luôn, thì cũng vẫn ra kết quả:
[tex]\sqrt{x^2-1}=t=>\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx=dt[/tex]
=>[tex]\int 2x\sqrt{x^2-1}dx=\int \frac{2x}{\sqrt{x^2-1}}(x^2-1)dx=\int 2t^2dt[/tex]
Cũng vẫn cùng kết quả, nhưng nó khó nhìn hơn.
+ [tex]\int \frac{\sqrt{tanx}}{cos^2x}dx[/tex]
Đặt : [tex]\sqrt{tanx}=t=>tanx=t^2=>\frac{1}{cos^2x}dx=2tdt[/tex]
Thu được nguyên hàm: [tex]\int t.2tdt=\frac{2t^3}{3}+C[/tex]
Trả biến: [tex]\int \frac{\sqrt{tanx}}{cos^2x}dx=\frac{2\sqrt{tan^3x}}{3}+C[/tex]
Note: Với những bạn học khá, ở bài đổi biến đơn giản thế này, thì có thể đổi vi phân nhanh như sau:
[tex]\int \frac{\sqrt{tanx}}{cos^2x}dx=\int \sqrt{tanx}d(tanx)=\frac{2}{3}\sqrt{tan^3x}+C[/tex]
Đằng sau chữ "d" là cái gì, thì ta lấy nguyên hàm theo biến đó, mọi biểu thức khác đều trở thành hàm hợp. Ví dụ ở trên là d(tanx) thì nguyên hàm ta lấy theo biến tanx, lúc này trong biểu thức ban đầu mà có x, thì x lại là thằng hàm hợp.
Cách để kiểm tra xem ta biến đổi có bằng nhau hay không, rất đơn giản: [TEX]d(f(x))=f'(x)dx[/TEX]
+ [tex]\int x^5\sqrt{x^2+1}dx[/tex]
Đặt [TEX]\sqrt{x^2+1}=t=>xdx=tdt[/TEX]
Lúc này bên ngoài căn có [TEX]xdx[/TEX] đổi sang tdt, vậy còn [TEX]x^4[/TEX] cần tính theo t. Ta có:
[TEX]x^2+1=t^2<=>x^4=(t^2-1)^2[/TEX]
Vậy thu được: [tex]\int t(t^2-1)^2tdt=\int (t^5-2t^3+t)dt=\frac{t^6}{6}-\frac{t^4}{2}+\frac{t^2}{2}+C[/tex]
Bây giờ trả biến, thu được kết quả cần tìm.
- Mục đích của đổi biến, là làm cho nguyên hàm trở nên gọn hơn, có thể tính được.
-Muốn đổi biến sao cho chính xác, thì điều quan trọng là phải nhớ được toàn bộ các nguyên hàm cơ bản. Chỉ cần khoảng vài ngày làm bài tập nguyên hàm thì chúng ta có thể nhớ được hết chúng.
- Cách làm:
+ Đặt f(x) = t, phải thực hiện vi phân 2 vế để đổi vi phân: [TEX]f'(x)dx=dt[/TEX] . Chú ý khi chọn biểu thức của x để đổi biến: Nếu có căn thì 90% là phải đặt cái căn bằng t.
( nếu bên f(x) là 1 căn thức, thì ta thường bình phương, lập phương.. 2 vế để mất căn, sau đó mới vi phân, để biểu thức mới không còn căn nữa, dễ nhìn hơn).
+ Sau khi đổi vi phân thì đổi tất cả các biểu thức có biến x còn lại, thành biểu thức của t.
+ Lấy nguyên hàm với biến t.
+ Khi có kết quả, nhớ trả biến x, không trả biến thì kết quả của bài vẫn là sai.
* Tính các nguyên hàm:
+[tex]\int 2x\sqrt{x^2-1}dx[/tex]
Đặt [tex]\sqrt{x^2-1}=t=>x^2-1=t^2=>xdx=tdt[/tex]
Ta thu được nguyên hàm: [tex]\int 2t.tdt=\frac{2t^3}{3}+C[/tex]
Trả biến ta được kết quả là : [tex]\int 2x\sqrt{x^2-1}dx=\frac{2\sqrt{(x^2-1)^3}}{3}+C[/tex]
Nếu không bình phương 2 vế mà lấy vi phân luôn, thì cũng vẫn ra kết quả:
[tex]\sqrt{x^2-1}=t=>\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}dx=dt[/tex]
=>[tex]\int 2x\sqrt{x^2-1}dx=\int \frac{2x}{\sqrt{x^2-1}}(x^2-1)dx=\int 2t^2dt[/tex]
Cũng vẫn cùng kết quả, nhưng nó khó nhìn hơn.
+ [tex]\int \frac{\sqrt{tanx}}{cos^2x}dx[/tex]
Đặt : [tex]\sqrt{tanx}=t=>tanx=t^2=>\frac{1}{cos^2x}dx=2tdt[/tex]
Thu được nguyên hàm: [tex]\int t.2tdt=\frac{2t^3}{3}+C[/tex]
Trả biến: [tex]\int \frac{\sqrt{tanx}}{cos^2x}dx=\frac{2\sqrt{tan^3x}}{3}+C[/tex]
Note: Với những bạn học khá, ở bài đổi biến đơn giản thế này, thì có thể đổi vi phân nhanh như sau:
[tex]\int \frac{\sqrt{tanx}}{cos^2x}dx=\int \sqrt{tanx}d(tanx)=\frac{2}{3}\sqrt{tan^3x}+C[/tex]
Đằng sau chữ "d" là cái gì, thì ta lấy nguyên hàm theo biến đó, mọi biểu thức khác đều trở thành hàm hợp. Ví dụ ở trên là d(tanx) thì nguyên hàm ta lấy theo biến tanx, lúc này trong biểu thức ban đầu mà có x, thì x lại là thằng hàm hợp.
Cách để kiểm tra xem ta biến đổi có bằng nhau hay không, rất đơn giản: [TEX]d(f(x))=f'(x)dx[/TEX]
+ [tex]\int x^5\sqrt{x^2+1}dx[/tex]
Đặt [TEX]\sqrt{x^2+1}=t=>xdx=tdt[/TEX]
Lúc này bên ngoài căn có [TEX]xdx[/TEX] đổi sang tdt, vậy còn [TEX]x^4[/TEX] cần tính theo t. Ta có:
[TEX]x^2+1=t^2<=>x^4=(t^2-1)^2[/TEX]
Vậy thu được: [tex]\int t(t^2-1)^2tdt=\int (t^5-2t^3+t)dt=\frac{t^6}{6}-\frac{t^4}{2}+\frac{t^2}{2}+C[/tex]
Bây giờ trả biến, thu được kết quả cần tìm.
