cho a = 1 + 2 + 2 mũ 2 + 3 mũ 2 + ......... + 2 mũ 99 ,.
a Tính a
b Chứng minh rằng A chia hết cho 3
c Chứng minh rằng A chia hết cho 15
[tex]A=1+2^2+2^3+...+2^{99}[/tex] (1)
a) [TEX]\Rightarrow 2A=2^2+2^3+...+2^{100}[/TEX] (2)
Lấy (2) trừ (1):
[TEX]2A-A=(2^2+2^3+...+2^{100})-(1+2^2+2^3+...+2^{99})[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow A=2^{100}-1[/TEX]
b) Ta có: [tex]2 \equiv -1 (\bmod 3)[/tex]
[TEX]\Rightarrow 2^{100} \equiv (-1)^{100} \equiv 1 (\bmod 3) [/TEX]
Vậy [TEX]2^{100}[/TEX] chia 3 dư 1.
Suy ra [TEX]A=2^{100}-1[/TEX] chia hết cho 3 (đpcm)
c) Ta thấy: [TEX]2^{100} = 2^{4.25} = (2^4)^{25} = 16^{25}[/TEX]
Mà ta biết rằng, lũy thừa của 1 số có tận cùng là 6 thì chữ số tận cùng của nó luôn là 6.
Vậy [TEX]2^{100}[/TEX] có tận cùng là 6.
Suy ra [TEX]A[/TEX] có tận cùng là 5, hay [TEX]A[/TEX] chia hết cho 5.
Vì (3,5) = 1 và [TEX]A[/TEX] đều chia hết cho 3 và 5 nên [TEX]A[/TEX] chia hết cho 15.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
