Toán 12 Tính $\log_{2022}(a+b)$

[hotro.phuongsieunhan@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số $f(x)=x^3-3x+2$ và hai số thực $a,b$ thoả mãn các điều kiện: $a>2021^{\log_{2022}b}\ge 1; f(\log_{2021}a)+2=f(\log_{2022}b)$. Tính $\log_{2022}(a+b)$

Về bản chất em làm ra được rồi nhưng em muốn tiếp cận thêm phương pháp về tính chẵn lẻ hàm số với bài này thì mình sử dụng tính chất đó ra sao ạ ?

 

[Kaito Kidㅤ]

[tex]\displaystyle a>2021^{\log_{2022}b}\ge 1 \Leftrightarrow \log_{2021}a>\log_{2022}b \geq 0[/tex]
Đặt $\log_{2021}a=u$ ; $\log_{2022}b =v$
Ta có $u>v \geq 0$
Ta có: BBT của hàm $y=f(x)$ với $x \geq 0$:
\begin{array}{c|ccccc}
x & 0 & & 1 & & +\infty \\
\hline
y' & & - & 0 & + & \\
\hline
y & 2 & & & & +\infty \\
& & \searrow & & \nearrow & \\
& & & 0 & &
\end{array}
Theo GT có: $f(u)+2=f(v) $ như vậy ta đang có thể suy ra 1 điều là $f(v)>f(u)(*)$ mà $u>v \geq 0$ nên ta có thể hiểu 1 điều là ta cần xét $u,v \in [0;1]$, từ đây có thể chứng minh như sau:
Với $u>v \geq 1$ hàm $y=f(x)$ đang đồng biến với $x \geq 1$ do đó $f(u)>f(v)$ điều này mâu thuẫn với $(*)$
Với $u > 1 > v > 0$ ta có: $f(u)>0$ và $0<f(v)<2$ do đó $f(u)+2>f(v)$ cũng không thoả mãn nốt
Với $1>u>v>0$ ta có: $2>f(u), f(v)>0$ do đó $f(u)+2>f(v)$ cũng không thoả mãn nốt
Với $v=0$ và $u \neq 1 $ thì $f(u)>0$ và $f(v)=2$ thì $f(u)+2>f(v)$ cũng không thoả mãn nốt
Với $1>v \neq 0$ và $u=1$ thì $f(u)=0$ và $f(v)<2$ thì $f(u)+2>f(v)$ cũng không thoả mãn nốt
Vậy còn lại TH duy nhất : với $v=0$ và $ u=1 $ thì $f(u)=0$ và $f(v)=2$ , điều này thoả mãn yêu cầu
Do đó ta có $b=1$ và $a=2021$
Vậy [tex]\log_{2022}(a+b)=1[/tex]