Toán Tính lim

[zzh0td0gzz]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tính $lim U_n$ biết $U_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

 

[zzh0td0gzz]

Tìm GTLN của:
$P=\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}} {b+3\sqrt{ca}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}$

Điều kiện $a, b, c \geq 0$
Ta có:
$3P= \frac{3\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+ \frac{3\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}+ \frac{3\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}=3-(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+ \dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+ \dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}})$
Mặt khác, ta lại có:
$\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+ \dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+ \dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3\sqrt{abc}(\sqrt{a} +\sqrt{b}+\sqrt{c})}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ac}\geq

\dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}\geq \dfrac{3(a+b+c)^2}{4(a+b+c)^2}=\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow 3P\leq 3-\dfrac{3}{4}$
$\Rightarrow P\leq \dfrac{3}{4}$
.............:grinder: