Kéo dài AR cắt BC tại D. Vẽ MK, AH vuông với BC.
Ta có: [tex]\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AB_1}{AC}=\frac{AB}{AB+BC} \Rightarrow AB_1=\frac{AB.AC}{AB+BC} \Rightarrow \frac{1}{AB_1}=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{ab}[/tex]
Tương tự thì [tex]\frac{1}{AC_1}=\frac{b+\sqrt{a^2+b^2}}{ab}[/tex]
Ta sẽ chứng minh trong tam giác vuông ABC có phân giác AD thì [tex]AD=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}}[/tex]
Thật vậy, vẽ DI vuông với AB. Ta có: [tex]\frac{DI}{AB}=\frac{DC}{BC}=\frac{DC}{DC+BD}=\frac{AC}{AC+AB} \Rightarrow DI=\frac{AB.AC}{AB+AC}=\frac{1}{\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}}[/tex]
Mà [tex]AD=\sqrt{2}DI[/tex](ADI vuông cân tại I) nên [tex]AD=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}}=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b}[/tex]
Tương tự thì AM cũng là phân giác của [TEX]AB_1C_1[/TEX] nên [tex]AM=\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{AB_1}+\frac{1}{AC_1}}=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b+2\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Theo định lí Ta-lét thì [tex]\frac{MK}{AH}=\frac{DM}{AD}=1-\frac{AM}{AD}\Rightarrow MK=AH(1-\frac{AM}{AH})=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.(1-\frac{a+b}{a+b+2\sqrt{a^2+b^2}})=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}.\frac{2\sqrt{a^2+b^2}}{a+b+2\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2ab}{a+b+2\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Chọn C.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
