Tính GTNN của: x4+x2+5/x4+2x2+1x^4+x^2+5/x^4+2x^2+1

J

jet_nguyen

GTNN cua : x4+x2+5x4+2x2+1{x}^{4}+{x}^{2}+\frac{5}{{x}^{4}}+2{x}^{2}+1
vầy là đúng chắc luôn tại mình cũng biết đề này mà
 
J

jet_nguyen

vô lý gì bài này mà cho lớp 8 chắc 3 người trong khối làm được là nhiều
Với bài này ta phải cân bằng hệ số. Ta phân tích như sau
A=x4−2bx2+b2+5x4+(2b+3)x2+1−b2A={x}^{4}-2b{x}^{2}+{b}^{2}+\frac{5}{{x}^{4}}+(2b+3){x}^{2}+1-{b}^{2} (với `b>0` ta sẽ chọn sau)

<=> A=(x2−b)2+(5x4+2b+32.x2A={({x}^{2}-b)}^{2}+(\frac{5}{{x}^{4}}+\frac{2b+3}{2}.{x}^{2}+2b+32.x2)+1−b2+\frac{2b+3}{2}.{x}^{2})+1-{b}^{2}

Ta có: x2−b2≥0{x^2-b}^{2} \geq 0 `

(5x4+2b+32.x2(\frac{5}{{x}^{4}}+\frac{2b+3}{2}.{x}^{2}+2b+32.x2)≥345(2b+3)23+\frac{2b+3}{2}.{x}^{2})\geq \frac{3}{4}\sqrt[3]{5({2b+3})^{2}}

Do đó: A≥345(2b+3)23+1−b2A\geq \frac{3}{4}\sqrt[3]{5({2b+3})^{2}}+1-{b}^{2}

Đẳng thức xảy ra khi [tex]\left{{\begin{array}{l}{x}^{2}=b \\ \frac{5}{{x}^{4}} =\frac{2b+3}{2x^2}\end{array} \right.[/tex]
=>2b4+3b3−10=02{b}^{4}+3{b}^{3}-10=0 (1)
Dễ thấy (1) luôn có nghiệm `b>0` Vậy minA=35(2b+3)2341−b23\frac{\sqrt[3]{5{(2b+3)}^{2}}}{4}1-{b}^{2}
trong đó `b` là nghiệm dương của (1).
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom