Tính GTNN của: $x^4+x^2+5/x^4+2x^2+1$

J

jet_nguyen

GTNN cua : [tex]{x}^{4}+{x}^{2}+\frac{5}{{x}^{4}}+2{x}^{2}+1[/tex]
vầy là đúng chắc luôn tại mình cũng biết đề này mà
 
J

jet_nguyen

vô lý gì bài này mà cho lớp 8 chắc 3 người trong khối làm được là nhiều
Với bài này ta phải cân bằng hệ số. Ta phân tích như sau
[tex]A={x}^{4}-2b{x}^{2}+{b}^{2}+\frac{5}{{x}^{4}}+(2b+3){x}^{2}+1-{b}^{2}[/tex] (với `b>0` ta sẽ chọn sau)

<=> [tex]A={({x}^{2}-b)}^{2}+(\frac{5}{{x}^{4}}+\frac{2b+3}{2}.{x}^{2}[/tex][tex]+\frac{2b+3}{2}.{x}^{2})+1-{b}^{2}[/tex]

Ta có: [tex]{x^2-b}^{2} \geq 0[/tex] `

[tex](\frac{5}{{x}^{4}}+\frac{2b+3}{2}.{x}^{2}[/tex][tex]+\frac{2b+3}{2}.{x}^{2})\geq \frac{3}{4}\sqrt[3]{5({2b+3})^{2}}[/tex]

Do đó: [tex]A\geq \frac{3}{4}\sqrt[3]{5({2b+3})^{2}}+1-{b}^{2}[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi [tex]\left{{\begin{array}{l}{x}^{2}=b \\ \frac{5}{{x}^{4}} =\frac{2b+3}{2x^2}\end{array} \right.[/tex]
=>[tex]2{b}^{4}+3{b}^{3}-10=0[/tex] (1)
Dễ thấy (1) luôn có nghiệm `b>0` Vậy minA=[tex]3\frac{\sqrt[3]{5{(2b+3)}^{2}}}{4}1-{b}^{2}[/tex]
trong đó `b` là nghiệm dương của (1).
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom