$1)$ $\lim (6n^2 - 7n + 1) \sqrt{\dfrac{9+n-n^3}{16+3n^2-n^7}}$
$\lim \sqrt{\dfrac{(6n^2 - 7n + 1)^2 (9+n-n^3)}{16+3n^2-n^7}}$
Ở tử, đa thức có bậc cao nhất là $7$ với hệ số đứng trước là $-36$ $(-36n^7)$
Ở mẫu, đa thức có bậc cao nhất là $7$ với hệ số đứng trước là $-1$ $(-n^7)$
Tử và mẫu cùng bậc. Do đó:
$$\lim \sqrt{\dfrac{(6n^2 - 7n + 1)^2 (9+n-n^3)}{16+3n^2-n^7}} = \sqrt{\dfrac{-36}{-1}} = 6$$
$2)$ $\lim \sqrt[3]{\dfrac{n^3+3n-2}{27n^6+n-1}}$
Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu $\implies \lim \sqrt[3]{\dfrac{n^3+3n-2}{27n^6+n-1}} = 0$
Hoặc chi tiết hơn:
$\lim \sqrt[3]{\dfrac{n^3+3n-2}{27n^6+n-1}}$
$= \lim \sqrt[3]{\dfrac{n^3+3n-2}{n^3 \left(27n^3 + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}\right)}}$
$= \lim \dfrac{1}{n} \sqrt[3]{\dfrac{n^3+3n-2}{27n^3 + \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^3}}}$
$= \lim \dfrac{1}{n} \sqrt[3]{\dfrac{1 + \frac{3}{n^2} - \frac{2}{n^3}}{27 + \frac{1}{n^5} - \frac{1}{n^6}}}$
$= 0 \cdot \sqrt[3]{\dfrac{1}{27}} = 0$
$3)$ $\lim \left(\sqrt{9^n + 6^n - 1} - 3^n + 1\right)$
$= \lim \left(\sqrt{9^n + 6^n - 1} - (3^n - 1)\right)$
$= \lim \dfrac{9^n + 6^n - 1 - (3^n - 1)^2}{\sqrt{9^n + 6^n - 1} + (3^n - 1)}$
$= \lim \dfrac{6^n + 2 \cdot 3^n - 2}{\sqrt{9^n + 6^n - 1} + 3^n - 1}$
$= \lim \dfrac{2^n + 2 - \frac{2}{3^n}}{\sqrt{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n - \frac{1}{9^n}} + 1 - \frac{1}{3^n}}$
Tử tiến tới $+\infty$, mẫu tiến tới $\sqrt{1} + 1 = 2$. Do đó:
$$\lim \left(\sqrt{9^n + 6^n - 1} - 3^n + 1\right) = +\infty$$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
