Đặt [tex]m=(x,y)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=ma\\ y=mb \end{matrix}\right.[/tex] [tex](a,b)=1; a \geq b[/tex]
Ta thấy [TEX]a^3+b^3[/TEX] cũng là lũy thừa của 1 số nguyên tố.
Đặt[tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=p^i[/tex] [tex]\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=p^q\\ a^2-ab+b^2=p^r \end{matrix}\right.[/tex]
Đặt [tex](a+b,a^2-ab+b^2)=d[/tex]
Dễ chứng minh [tex]3ab\vdots d[/tex] . Mà [tex](a,b)=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (a,d)=1\\ (b,d)=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow 3\vdots d\Rightarrow d=3[/tex](vì d = 1 thì p = 1)
[tex]\Rightarrow a^3+b^3=3^i\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3^q\\ a^2-ab+b^2=3^r \end{matrix}\right.\Rightarrow 3ab=3^r(3^{2q}-1)\Rightarrow ab=3^{r-1}(3^{2q}-1)[/tex]
Mà [TEX](a,b)=1; a+b \vdots 3[/TEX] nên a,b không chia hết cho 3 hay [TEX]3^{r-1}(3^{2q}-1)[/TEX] không chia hết cho 3
[tex]\Rightarrow 3^{r-1}=1\Rightarrow r=1[/tex]
[tex]\Rightarrow a^2-ab+b^2=3\Rightarrow a^2(t^2-t+1)=3(với t=\frac{b}{a})[/tex]
Ta thấy: [tex]t^2-t+1\geq \frac{3}{4}\Rightarrow a^2\leq 4\Rightarrow a\leq 2[/tex]
+ a = 2 [TEX]\Rightarrow b = 1[/TEX]
+ a = 1 [TEX]\Rightarrow b = 2[/TEX](loại vì [TEX]a \geq b[/TEX])
Lại có: [tex]P=\frac{x^2-2xy+2y^2}{x^2-6xy+2y^2}=\frac{m^2a^2-2m^2ab+2m^2b^2}{m^2a^2-6m^2ab+2m^2b^2}=\frac{a^2-2ab+2b^2}{a^2-6ab+2b^2}=\frac{2^2-2.1.2+2.1^2}{2^2-6.2.1+2.1^2}=\frac{2}{-6}=-\frac{1}{3}[/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
