tính giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
a.(x−2)^2+2023
b.(x−3)^2+(y−2)^2−2018
c.(x+1)^2+100
ChuHai Yena. Bình phương một số thực thì luôn lớn hoặc bằng 0 nên:
[imath](x-2)^2 \geq 0[/imath]
Ta có thể cộng 2 vế cho một biểu thức để nhận được một biểu thức tương đương:
Cộng 2 vế cho [imath]2023[/imath] ta có:
[imath](x-2)^2+2023\geq 2023[/imath]
Nhận thấy [imath](x-2)^2+2023[/imath] luôn lớn hơn [imath]2023[/imath] hoặc bằng [imath]2023[/imath] nên giá trị nhỏ nhất của [imath](x-2)^2+2023[/imath] là [imath]2023[/imath]
Ta cần chỉ ta tại [imath]x[/imath] bằng mấy thì đạt được giá trị nhỏ nhất đó (nếu không chỉ ra được thì giá tri nhỏ nhất đó không thể đạt được và nó không được coi là giá trị nhỏ nhất)
Ta có thể giải phương trình [imath](x-2)^2+2023=2023[/imath] để tìm xem tại [imath]x[/imath] bằng mấy thì [imath](x-2)^2+2023=2023[/imath] từ đó biết được tại giá trị nào mà biểu thức đạt được giá trị nhỏ nhất:
Tương tự như cộng 2 vế ta cũng có thể trừ 2 vế:
Trừ 2 vế của [imath](x-2)^2+2023=2023[/imath] cho 2023 ta có:
[imath](x-2)^2+2023-2023=2023-2023[/imath]
hay [imath](x-2)^2=0[/imath]
Chỉ có [imath]0^2=0[/imath] nên
[imath]x-2=0[/imath] hay [imath]x=2[/imath]
Vây giá trị nhỏ nhất của [imath](x-2)^2+2023[/imath] là [imath]2023[/imath] đạt được khi [imath]x=2[/imath] ta còn gọi "đạt được khi [imath]x=2[/imath]" bằng 1 câu khác đó là
"dấu bằng xảy ra khi [imath]x=2[/imath]".
Vậy ta có thể kết luận khác: Giá trị nhỏ nhất của [imath](x-2)^2+2023[/imath] là [imath]2023[/imath] dấu bằng xảy ra khi [imath]x=2[/imath].
Tại sao gọi "dấu bằng xảy ra" để thay thế cho "đạt được tại" ?
Ví dụ: [imath](x-2)^2+2023\geq 2023[/imath] thì giá trị nhỏ nhất là [imath]2023[/imath] và đạt được giá trị đó tại [imath]x=2[/imath]. Đạt được tại [imath]x=2[/imath] tức là [imath](x-2)^2+2023[/imath] đạt đươc giá trị nhỏ nhất là [imath]2023[/imath] tại [imath]x=2[/imath]. Đạt được giá trị nhỏ nhất tức là dấu bằng trong bất đẳng thức: [imath](x-2)^2+2023\geq 2023[/imath] xảy ra. Do vậy người ta thay thế đạt được thành dấu bằng xảy ra.
Do đó ta có thể nói: Giá trị nhỏ nhất của [imath](x-2)^2+2023[/imath] là 2023, dấu bằng xảy ra khi [imath]x=2[/imath]
2. Tương tự như trên ta có:
[imath](x-3)^2\geq 0[/imath]
[imath](y-2)^2 \geq 0[/imath]
Ta có thể cộng các vế phải với vế phải và vế trái với vế trái của các bất đẳng thức để được một bất đẳng thức do đó cộng các vế của 2 bất đẳng thức ta được:
[imath](x-3)^2+(y-2)^2\geq 0+0[/imath] hay
[imath](x-3)^2+(y-2)^2\geq 0[/imath]
Trừ 2 vế cho [imath]2018[/imath] ta có:
[imath](x-3)^2+(y-2)^2-2018\geq 0-2018[/imath] hay
[imath](x-3)^2+(y-2)^2-2018\geq -2018[/imath]
Vậy giá trị nhỏ nhất của [imath](x-3)^2+(y-2)^2-2018[/imath] là [imath]-2018[/imath] dấu bằng xảy ra khi [imath]x=3, y=2[/imath] (cái này bạn có thể nhẩm) có rất nhiểu cách tìm ra dấu bằng đây là 1 cách nhanh vì biểu thức khá đơn giản
3. Ta có: [imath](x+1)^2 \geq 0[/imath]
cộng 2 vế cho [imath]100[/imath] ta có:
[imath](x+1)^2+100\geq 100[/imath]
Vậy giá trị nhỏ nhất của [imath](x+1)^2+100[/imath] là 100 dấu bằng xảy ra khi [imath]x=-1[/imath].
Có gì không rõ bạn cứ hỏi khi nào mình rảnh sẽ trả lời. Chúc bạn học tốt.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
