Tính giá trị của biểu thức

[thuong_000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a^3+b^3+c^3=3abc
Tính giá trị của biểu thức M=[TEX](1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a})[/TEX]
Giúp mình với nha

 

[kiemsac_009]

Trả lời

M=(a+b)(b+c)(c+a)/abc
Từ giả thiết\Rightarrow (a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc=0
\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)=0
\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0
Vậy a+b+c=0 hoặc a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
TH1: a+b+c=0
\Rightarrow a+b=-c ; b+c=-1 ; c+a=-b
\Rightarrow M= -abc/abc=-1
TH2: a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0. Vậy a=b=c
Khi đó M= (2b*2c*2a)/bca=8
Nhớ thanks nha bạn

 

[eye_smile]

Ta có:
[tex]{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc[/tex]
=>[tex]{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = 0[/tex]
=>[tex]{\left( {a + b} \right)^3} - 3{a^2}b - 3a{b^2} + {c^3} - 3abc = 0[/tex]
=>[tex]\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {c^3}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right) = 0[/tex]
=>[tex]\left( {a + b + c} \right).\left( {{a^2} + 2ab + {b^2} - ac - bc + {c^2} - 3ab} \right) = 0[/tex]
=>[tex]\left( {a + b + c} \right).\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right) = 0[/tex]
*TH1:a+b+c=0
=>a=-(b+c);b=-(a+c);c=-(a+b)
=>[tex]M = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right)\left( {1 + \frac{b}{c}} \right)\left( {1 + \frac{c}{a}} \right)[/tex]
=>[tex]M = \frac{{a + b}}{b}.\frac{{b + c}}{c}.\frac{{a + c}}{a}[/tex]
=>[tex]M = \frac{{ - \left( {b + c} \right) + b}}{b}.\frac{{ - \left( {a + c} \right) + c}}{c}.\frac{{ - \left( {b + a} \right) + a}}{a}[/tex]
=>[tex]M = \frac{{ - c}}{b}.\frac{{ - a}}{c}.\frac{{ - b}}{a}[/tex]
=>[tex]M = \frac{{ - \left( {abc} \right)}}{{abc}} = - 1[/tex]
*TH2:[tex]{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0[/tex]
=>[tex]2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = 0[/tex]
=>[tex]\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) = 0[/tex]
=>[tex]{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} = 0[/tex]
=>a=b=c
=>[tex]M = \left( {1 + \frac{a}{b}} \right).\left( {1 + \frac{b}{c}} \right).\left( {1 + \frac{c}{a}} \right)[/tex]
=>[tex]M = \left( {1 + 1} \right).\left( {1 + 1} \right).\left( {1 + 1} \right)[/tex]
=>[tex]M = 8[/tex]