Toán 9 Tính giá trị của $A=z\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}} + x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+...$

[Hà Chi0503]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z nguyên dương thỏa mãn xy+yz+zx = 1
Tính giá trị của biểu thức A = [tex]z\sqrt{\frac{(1+x^{2})(1+y^{2})}{1+z^{2}}} + x\sqrt{\frac{(1+y^{2})(1+z^{2})}{1+x^{2}}} + y\sqrt{\frac{(1+z^{2})(1+x^{2})}{1+y^{2}}}[/tex]

 

[Ann Lee]

Cho x,y,z nguyên dương thỏa mãn xy+yz+zx = 1
Tính giá trị của biểu thức A = [tex]z\sqrt{\frac{(1+x^{2})(1+y^{2})}{1+z^{2}}} + x\sqrt{\frac{(1+y^{2})(1+z^{2})}{1+x^{2}}} + y\sqrt{\frac{(1+z^{2})(1+x^{2})}{1+y^{2}}}[/tex]

Vì [tex]x;y;z>0;xy+yz+zx=1[/tex] nên ta có:
[tex]z\sqrt{\frac{(1+x^{2})(1+y^{2})}{1+z^{2}}} \\=z\sqrt{\frac{(xy+yz+zx+x^{2})(xy+yz+zx+y^{2})}{xy+yz+zx+z^{2}}} \\=z\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)}{(z+x)(z+y)}}\\=z\sqrt{(x+y)^{2}}\\=z(x+y)\\=zx+yz[/tex]
Tương tự:....
Suy ra [tex]A=2(xy+yz+zx)=2[/tex]