- 27 Tháng ba 2016
- 57
- 36
- 26
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TP.HCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể xuất hiện trong đề thi học kì cũng như trong đề thi THPTQG trong bài viết mình sẽ giới thiệu đến các bạn cách tính diện tích và thể tích không cần vẽ hình khi đề bài cho đến 3 hàm y=f(x) và mở rộng đưa ra một số công thức khi diện tích hình phẳng và thể tích vật thể xoay quanh trục Oy.
1/ Diện tích và thể tích giới hạn bởi 3 hàm số không cần vẽ hình.
Điều kiện áp dụng: Khi ta lập phương trình hoành độ giao điểm của 3 hàm thì chỉ có 3 giao điểm.
Ở đây mình không đưa ra cách giải tống quát và đi thẳng vào ví dụ để phân tích.
VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường [tex]y = {2^x},y = - x + 3,y = 1[/tex]
[tex]\left\{ \begin{array}{l} {2^x} = - x + 3 < = > x = 1\\ - x + 3 = 1 < = > x = 2\\ {2^x} = 1 < = > x = 0 \end{array} \right.\\ = > S = \int\limits_0^1 {\left| {{2^x} - 1} \right|dx + \int\limits_1^2 {\left| { - x + 3 - 1} \right|dx} }[/tex]
[tex]= > S = \frac{1}{{\ln 2}} - \frac{1}{2}[/tex]
P/s: Khi có 3 nghiệm [tex]x_{1}[/tex]<[tex]x_{2}[/tex]<[tex]x_{3}[/tex] thì ta chia thành 2 tích phân. Tích phân thứ nhất là [tex]\int_{x_{1}}^{x_{2}}g(x)[/tex] với g(x) là hàm số khi xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm [tex]x_{2}[/tex]. Tích phân thứ hai là [tex]\int_{x_{2}}^{x_{3}}h(x)[/tex] với h(x) là hàm số khi xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm [tex]x_{3}[/tex].
2/ Một số công thức tính diện tích và thể tích khi quay quanh trục Oy.
2.1/ Thể tích khi quay quanh trục Oy.
[tex]D:a\leq x\leq b[/tex] , y nằm giữa 0 và f(x)
[tex]V_{y}=2\pi\int_{a}^{b}\left | xf(x)) \right |dx[/tex]
2.2/ Độ dài đường cong phẳng.
Cho đường cong [tex]C:y=f(x),a\leqslant x\leqslant b[/tex]
[tex]L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}dx[/tex]
2.3/ Diện tích mặt tròn xoay.
Cho đường cong [tex]C:y=f(x),a\leqslant x\leqslant b[/tex]
[tex]S_{x}=2\pi\int_{a}^{b}\left | f(x) \right |{\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}}dx[/tex]
Đây là một số chia sẻ của mình về ứng dụng hình học của tích phân. Tuy nhiên phương pháp giải của mình vẫn hạn chế vì chỉ áp dụng cho một trường hợp cụ thể. Mình sẽ tiếp tục nghiên cứu để có thể tổng quát hơn và có lẽ mình sẽ tiếp tục viết về chủ đề này với bài toán khi cho hàm có chứa dấu bất đẳng thức. Cảm ơn các bạn đã đọc bài viết. Chúc các bạn học tốt!
1/ Diện tích và thể tích giới hạn bởi 3 hàm số không cần vẽ hình.
Điều kiện áp dụng: Khi ta lập phương trình hoành độ giao điểm của 3 hàm thì chỉ có 3 giao điểm.
Ở đây mình không đưa ra cách giải tống quát và đi thẳng vào ví dụ để phân tích.
VD: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường [tex]y = {2^x},y = - x + 3,y = 1[/tex]
Gợi ý cách giải
Lập phương trình hoành độ giao điểm lần lượt của các hàm số: [tex]\left\{ \begin{array}{l} {2^x} = - x + 3 < = > x = 1\\ - x + 3 = 1 < = > x = 2\\ {2^x} = 1 < = > x = 0 \end{array} \right.\\ = > S = \int\limits_0^1 {\left| {{2^x} - 1} \right|dx + \int\limits_1^2 {\left| { - x + 3 - 1} \right|dx} }[/tex]
[tex]= > S = \frac{1}{{\ln 2}} - \frac{1}{2}[/tex]
P/s: Khi có 3 nghiệm [tex]x_{1}[/tex]<[tex]x_{2}[/tex]<[tex]x_{3}[/tex] thì ta chia thành 2 tích phân. Tích phân thứ nhất là [tex]\int_{x_{1}}^{x_{2}}g(x)[/tex] với g(x) là hàm số khi xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm [tex]x_{2}[/tex]. Tích phân thứ hai là [tex]\int_{x_{2}}^{x_{3}}h(x)[/tex] với h(x) là hàm số khi xét phương trình hoành độ giao điểm để tìm [tex]x_{3}[/tex].
2/ Một số công thức tính diện tích và thể tích khi quay quanh trục Oy.
2.1/ Thể tích khi quay quanh trục Oy.
[tex]D:a\leq x\leq b[/tex] , y nằm giữa 0 và f(x)
[tex]V_{y}=2\pi\int_{a}^{b}\left | xf(x)) \right |dx[/tex]
2.2/ Độ dài đường cong phẳng.
Cho đường cong [tex]C:y=f(x),a\leqslant x\leqslant b[/tex]
[tex]L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}dx[/tex]
2.3/ Diện tích mặt tròn xoay.
Cho đường cong [tex]C:y=f(x),a\leqslant x\leqslant b[/tex]
[tex]S_{x}=2\pi\int_{a}^{b}\left | f(x) \right |{\sqrt{1+[f'(x)]^{2}}}dx[/tex]
Đây là một số chia sẻ của mình về ứng dụng hình học của tích phân. Tuy nhiên phương pháp giải của mình vẫn hạn chế vì chỉ áp dụng cho một trường hợp cụ thể. Mình sẽ tiếp tục nghiên cứu để có thể tổng quát hơn và có lẽ mình sẽ tiếp tục viết về chủ đề này với bài toán khi cho hàm có chứa dấu bất đẳng thức. Cảm ơn các bạn đã đọc bài viết. Chúc các bạn học tốt!
