Tính diện tích phần chung của hình tròn (O) và hình tròn (O') theo ban kính R

[sonad1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hai đường tròn (O) và (O') có cùng bán kính R cắt nhau tại hai điểm A, B sao cho tâm O nằm trên đường tròn (O') và tâm O' nằm trên đường tròn (O). Đường nối tâm OO' cắt AB tại H, cắt đường tròn (O') tại giao điểm thứ hai là C. Gọi F là điểm đối xứng của B qua O'
a) CMR: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) và AC vuông góc với BF
b) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=AF. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt OC tại K, cắt AF tại G. Gọi E là giao điểm của AC và BF. CM các tứ giác AHOE, ADKO là các tứ giác nội tiếp.
c) Tứ giác AHKG là hình gì? Vì sao?
d)Tính diện tích phần chung của hình tròn (O) và hình tròn (O') theo ban kính R

 

[pe_lun_hp]

Hình vẽ.

a.

AC là tt của (O)

OC : đường kính (O;R)

$A \in (O') \Rightarrow OA \ \ \bot \ \ AC \ \ (1)$

\Rightarrow đpcm

$AC \ \ \bot \ \ BF$

Tứ giác AOBO' là hình thoi ( OA=OA'=OB=OB'=R)

$\Rightarrow OA // BF$

Kết hợp $(1) \Rightarrow đpcm$

b. các tứ giác AHOE, ADKO là các tứ giác nội tiếp.

AHOE bạn xem lại đề nhé.

ADKO:

$DK \ \ \bot OC \Rightarrow \widehat{DKH} = 90^o$

$OA \ \ \bot AC \Rightarrow \widehat{OAD} = 90^o$

$\Rightarrow đpcm$

c. AHKG là Hình vuông.

$\widehat{BAF} = \widehat{AHK} = \widehat{GHK} = 90^o$

\Rightarrow AHKG là hcn

$\left\{\begin{matrix}OA // O'F\\ OA=O'F=OO'=R \end{matrix}\right. \Rightarrow AOO'F \ \ \text{là hình thoi} \Rightarrow OA=AF=AD \ \ (2)$

(1) & (3) : $\Rightarrow \Delta{AOD}$ vuông cân tại A. $\Rightarrow \widehat{ADO} = 45^o$

Có ADKO nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AKO} = \widehat{ADO} = 45^o$

$\Rightarrow \Delta{AHK}$ vuông cân tại H $\Rightarrow AH=AK$

$\Rightarrow đpcm$

d.

$S_{(O) \cap (O')}$

$S_1 : S_{q_{OAB}}$

$S_2 : S_{AOBO'}$

Có $\Delta{AOO'}$ đều $\Rightarrow \widehat{AOB} = 120^o$

$ S_1 = \dfrac{\pi R^2.120}{360} = \dfrac{\pi R^2}{3}$

$S_2 = = 2S_{AOO'} = \dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}$

$ \Rightarrow S= 2S_1 - S_2 = \dfrac{R^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{6}$