- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 24
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
1. cho tích phân [tex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx[/tex]
khí đó, ta luôn có:
[tex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx[/tex]
* chứng minh: đặt [tex]t=a+b-x=>dt=-dx[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} x=a=>t=b\\ x=b=>t=a \end{matrix}\right.[/tex]
do đó, [tex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{b}^{a}f(a+b-t).(-dt)=\int_{a}^{b}f(a+b-t)dt=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx[/tex]
ví dụ 1: cho hàm f(x) thỏa mãn [tex]f(x)+3f(1-x)=x(e^x-1)[/tex]. tính tích phân [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]
theo tính chất ở trên ta sẽ có: [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(1-x)dx[/tex].
lấy tích phân 2 vế, ta có: [tex]\int_{0}^{1}(f(x)+3f(1-x))dx=4\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x(e^x-1)dx=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{8}[/tex]
2. tích phân hàm chẵn, lẻ
* nếu f(x) là hàm chẵn trên đoạn [tex][-a;a][/tex], ta luôn có các tính chất sau:
- [tex]\int_{-a}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
- [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{-a}^{0}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
- [tex]\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{b^x+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
* nếu f(x) là hàm lẻ trên đoạn [tex][-a;a][/tex], ta luôn có các tính chất sau:
- [tex]\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
- [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=0[/tex]
3. tích phân hàm tuần hoàn
* nếu f(x) là hàm tuần hoàn chu kì T: [tex]f(x+T)=f(x)[/tex], ta luôn có các tính chất sau:
- [tex]\int_{0}^{T}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx, \forall a\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx[/tex]
* chu kì tuần hoàn của 1 vài hàm thường gặp:
- [tex]cos(ax+b)[/tex] tuần hoàn với chu kì [tex]T=\frac{2\pi }{|a|}[/tex]
- [tex]tan(ax+b)[/tex] tuần hoàn với chu kì [tex]T=\frac{\pi }{|a|}[/tex]
ví dụ 2: tính tích phân [tex]I=\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+\int_{0}^{2\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+\int_{0}^{4\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+...+\int_{0}^{2^{2018}\pi }\sqrt{1-cos2x}dx[/tex]
chu kì tuần hoàn của hàm [tex]f(x)=\sqrt{1-cos2x}[/tex] có chu kì tuần hoàn [tex]T=\pi[/tex]
áp dụng tính chất trên, ta có:
[tex]I=\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+2\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+4\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+...+2^{2018}\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx=(1+2+4+...+2^{2018})\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx=(2^{2019}-1)\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx=(2^{2019}-1).2\sqrt{2}[/tex]
khí đó, ta luôn có:
[tex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx[/tex]
* chứng minh: đặt [tex]t=a+b-x=>dt=-dx[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix} x=a=>t=b\\ x=b=>t=a \end{matrix}\right.[/tex]
do đó, [tex]I=\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{b}^{a}f(a+b-t).(-dt)=\int_{a}^{b}f(a+b-t)dt=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx[/tex]
ví dụ 1: cho hàm f(x) thỏa mãn [tex]f(x)+3f(1-x)=x(e^x-1)[/tex]. tính tích phân [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex]
theo tính chất ở trên ta sẽ có: [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(1-x)dx[/tex].
lấy tích phân 2 vế, ta có: [tex]\int_{0}^{1}(f(x)+3f(1-x))dx=4\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x(e^x-1)dx=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]=>\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{8}[/tex]
2. tích phân hàm chẵn, lẻ
* nếu f(x) là hàm chẵn trên đoạn [tex][-a;a][/tex], ta luôn có các tính chất sau:
- [tex]\int_{-a}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
- [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{-a}^{0}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
- [tex]\int_{-a}^{a}\frac{f(x)}{b^x+1}dx=\frac{1}{2}\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
* nếu f(x) là hàm lẻ trên đoạn [tex][-a;a][/tex], ta luôn có các tính chất sau:
- [tex]\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{0}^{a}f(x)dx[/tex]
- [tex]\int_{-a}^{a}f(x)dx=0[/tex]
3. tích phân hàm tuần hoàn
* nếu f(x) là hàm tuần hoàn chu kì T: [tex]f(x+T)=f(x)[/tex], ta luôn có các tính chất sau:
- [tex]\int_{0}^{T}f(x)dx=\int_{a}^{a+T}f(x)dx, \forall a\in \mathbb{R}[/tex]
[tex]\int_{0}^{nT}f(x)dx=n\int_{0}^{T}f(x)dx[/tex]
* chu kì tuần hoàn của 1 vài hàm thường gặp:
- [tex]cos(ax+b)[/tex] tuần hoàn với chu kì [tex]T=\frac{2\pi }{|a|}[/tex]
- [tex]tan(ax+b)[/tex] tuần hoàn với chu kì [tex]T=\frac{\pi }{|a|}[/tex]
ví dụ 2: tính tích phân [tex]I=\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+\int_{0}^{2\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+\int_{0}^{4\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+...+\int_{0}^{2^{2018}\pi }\sqrt{1-cos2x}dx[/tex]
chu kì tuần hoàn của hàm [tex]f(x)=\sqrt{1-cos2x}[/tex] có chu kì tuần hoàn [tex]T=\pi[/tex]
áp dụng tính chất trên, ta có:
[tex]I=\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+2\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+4\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx+...+2^{2018}\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx=(1+2+4+...+2^{2018})\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx=(2^{2019}-1)\int_{0}^{\pi }\sqrt{1-cos2x}dx=(2^{2019}-1).2\sqrt{2}[/tex]
