Toán 7 Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

[Chử Nhi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}$
Chứng minh rằng: $P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+x}{y+z}$
2. Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{2019}=\dfrac{b}{2021}=\dfrac{c}{2023}$
Chứng minh rằng $\dfrac{(a-c)^2}4=(a-b)(b-c)$

 

[Blue Plus]

1. Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}$
Chứng minh rằng: $P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+x}{y+z}$
2. Cho dãy tỉ số bằng nhau: $\dfrac{a}{2019}=\dfrac{b}{2021}=\dfrac{c}{2023}$
Chứng minh rằng $\dfrac{(a-c)^2}4=(a-b)(b-c)$

1.
Nếu $x+y+z+t=0$ thì ta có: $x+y=-(z+t);y+z=-(t+x)$
Thay vào ta tính được $P=-4$
Nếu $x+y+z+t\ne 0$, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z+t}{3(x+y+z+t)}=\dfrac13$
Suy ra $3x=y+z+t;3y=z+t+x;3z=t+x+y;3t=x+y+z$
Do đó: $4x=x+y+z+t;4y=x+y+z+t;4z=x+y+z+t;4t=x+y+z+t$
$\Rightarrow 4x=4y=4z=4t$
Suy ra được $x=y=z=t$
Thay vào ta tính được $P=4$
Do đó trong cả 2 trường hợp thì $P$ là số nguyên.
2.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\dfrac{a}{2019}=\dfrac{b}{2021}=\dfrac{a-b}{-2}$
$\dfrac{b}{2021}=\dfrac{c}{2023}=\dfrac{b-c}{-2}$
mà $\dfrac{a}{2019}=\dfrac{b}{2021}$ nên $\dfrac{a}{2019}=\dfrac{b-c}{-2}$
Suy ra $\left(\dfrac{a}{2019}\right)^2=\dfrac{a-b}{-2}\cdot \dfrac{b-c}{-2}=\dfrac{(a-b)(b-c)}4$
$\dfrac{a}{2019}=\dfrac{c}{2023}=\dfrac{a-c}{-4}$
Suy ra $\left(\dfrac{a}{2019}\right)^2=\left(\dfrac{a-c}{-4}\right)^2=\dfrac{(a-c)^2}{16}$
Suy ra $\dfrac{(a-b)(b-c)}4=\dfrac{(a-c)^2}{16}\Leftrightarrow \dfrac{(a-c)^2}4=(a-b)(b-c)$

Nếu có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.