Tính chất chia hết

[hocattuong2001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)CMR:
a) n^2+4n+3 chia hết cho 8 vs mọi số tự nhiên n lẻ
b) n^5 =5n^3 + 4n chia hết cho 48 với mọi số tự nhiên n chẵn

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

$n=2k+1$

$n^2+4n+3=(2k+1)^2+4(2k+1)+3=4k^2+4k+1+8k+4+3=4(k+1)(k+2) \equiv 0\pmod{8}$

 

[soccan]

$A=n^2+4n+3$
$=n^2+2.2+4-1$
$=(n+2)^2-1$
$=(n+1)(n+3)$
Với n lẻ thì $n+1$ chẵn, $n+3$ chẵn $\Longrightarrow (n+1)(n+3)$ là tích 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho $8 (đpcm)$

 

[soccan]

$b)n^5=5n^3+4n $
$\Longleftrightarrow n^4=5n^2+4$
Với $n$ chẵn thì $n^2$ chia hết cho $4 \Longrightarrow n^4$ chia hết cho $16$ hay $n^5=5n^3+4n$ chia hết cho 16 với mọi $n$ chẵn (1)
+Lại từ giả thiết suy ra $n^5-n^3=4n^3+4n$
$\Longleftrightarrow n^3(n^2-1)=4n(n^2+1)$
$\Longleftrightarrow n^3(n-1)(n+1)=4n(n^2+1)$
[TEX]\forall[/TEX] $n$ chẵn thì suy ra $(x-1)(x+1)$ là tích 2 số lẻ liên tiếp nên $\Longrightarrow n^3(n-1)(n+1)$ chia hết cho 3
hay $n^5=5n^3+4n$ chia hết cho $3$ [TEX]\forall[/TEX] $n$ chẵn (2)
mặt khác $(3;16)=1$ nên từ $(1)$ và $(2)$ $\Longrightarrow$ $n^5=5n^3+4n$ chia hết cho 48 [TEX]\forall[/TEX] $n$ chẵn $(đpcm)$