Tính các tổng sau

I

icy_tears

a) $S_1 = 1 + 2 + 3 + ... + n$
$= \frac{(1 + n)n}{2}$

b) $S_2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2$
$= 1.2 - 1 + 2.3 - 2 + 3.4 - 3 + ... + n(n + 1) - n$
$= [1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)] - (1 + 2 + 3 + ... + n)$
Đặt $A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1)$
$3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.4 + ... + n(n + 1).3$
$= 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + n(n + 1)[(n + 2) - (n - 1)]$
$= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - ... - (n - 1)n(n + 1) + n(n + 1)(n + 2)$
$= n(n + 1)(n + 2)$
\Rightarrow $A = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$
Đặt $B = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{(1 + n)n}{2}$
\Rightarrow $S_2 = A - B = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} - \frac{(1 + n)n}{2} = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
 
C

cuong276

a) [TEX]S1 = 1+2+...+n[/TEX]
\Rightarrow [TEX]S1 = \frac{n(n+1)}{2}[/TEX]
b) [TEX]S2 = 1^2+2^2+...+n^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]S2 = 1(2-1) + 2(3-1) +...+ n(n+1-1)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]S2 = 1.2+2.3+...+n(n+1) - (1+2+...+n)[/TEX] (1)
Đặt [TEX]S = 1.2+2.3+...+n(n+1)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]3S = 1.2.3+2.3.3+...+n(n+1).3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]3S = 1.2.3+2.3.(4-1)+...+n(n+1)[(n+2)-(n-1)][/TEX]
\Rightarrow [TEX]3S = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+...+(n+2)n(n+1)-(n-1)n(n+1)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]3S = n(n+1)(n+2)[/TEX]
\Rightarrow [TEX]S = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}[/TEX] (2)
Thay (2) vào (1) đồng thời kết hợp với câu a ta có:
[TEX]S2 = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} - \frac{n(n+1)}{2}[/TEX] = [TEX]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
L

luffy_1998

cách 2:
[TEX]S_2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 +........n^2[/TEX]
Ta có [TEX]k^3 - (k - 1)^3 = 3k^2 - 3k + 1.[/TEX]
[TEX]\Rightarrow n^3 - 0^3 = n^3 - (n-1)^3 + (n-1)^3 - (n-2)^3 + ... + 2^3 - 1^3 + 1^3 - 0^3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow n^3 - 0^3 = 3 (1^2 + 2^2 + 3^2 +........n^2) - 3(1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . n) + n[/TEX]
[TEX]\Rightarrow n^3 = 3S_2 - 3n(n + 1)/2 + n[/TEX] (áp dụng câu a)
[TEX]\Rightarrow 3S_2 = n^3 + 3n(n + 1)/2 - n[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3S_2 = n(n + 1)(n - 1) + 3n(n + 1)/2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3S_2 = n(n + 1)[n - 1 + 3/2] [/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3S_2 = n(n + 1)(2n + 1)/2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow S_2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 [/TEX]
 
Last edited by a moderator:
H

huongmot

a, $S=1+2+3+4+...+n$
* Có n số hạng
* Gọi khoảng cách giữa các số là d ( mặc dù biết là 1 rồi nhưng gọi thế cho nó dễ nhìn nhé ;)))
Ta có:
$S = 1+2+3+...+n$
<=>$S= 1 + 1 + d + 1 + 2d + 1 + 3d +.....+1+(n-2)d + 1+(n-1)d (1)$
hay:
$S = n- (n-1)d + n -(n-2)d + n-(n-3)d +.........+ n-2 +n-1+n (2)$
Từ (1)(2)
=>2S = 1 + 1+ d + 1+ 2d +1+ 3d +.....1 + (n - 3)d +1+(n - 2)d + 1+(n - 1)d + n - (n-1)d + n - (n - 2)d + n - (n - 3)d +.........+ n - 2d +n - d + n
$2S= 1+1+1+.......+1+n+n+n+...+n$
$2S= 1.n + n.n$
$2S= n(n+1)$
S= $\frac{n(n+1)}{2}$


 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom