Toán 8 Tính $a^2/(a^2-b^2-c^2)+b^2/(b^2-c^2-a^2)+c^2/(c^2-a^2-b^2)$

[Hoàng_Barca]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a+b+c=0( a,b,c khác 0)
Tính a^2/(a^2-b^2-c^2)+b^2/(b^2-c^2-a^2)+c^2/(c^2-a^2-b^2)

 

[7 1 2 5]

Ta thấy:[tex]a+b+c=0\Rightarrow a=-b-c\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc[/tex]
Từ đó ta có:[tex]\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ca}+\frac{c^2}{2ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc}{2abc}=\frac{3}{2}[/tex]

 

[02-07-2019.]

Cho a+b+c=0( a,b,c khác 0)
Tính a^2/(a^2-b^2-c^2)+b^2/(b^2-c^2-a^2)+c^2/(c^2-a^2-b^2)

Ta có:
[tex]\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-a^2-c^2}+\frac{c^2}{c^2-b^2-a^2}=\frac{a^2}{a^2-(b^2+c^2)}+\frac{b^2}{b^2-(a^2+c^2)}+\frac{c^2}{c^2-(a^2+b^2)}[/tex]
[tex]a+b+c=0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=-c \\ b+c=-a \\ c+a=-b \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=c^2-2ab \\ c^2+b^2=a^2-2cb\\ a^2+c^2=b^2-2ac \end{matrix}\right.[/tex]
Thay vào biểu thức ta có:
A=[tex]\frac{a^2}{a^2-a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2-b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2-c^2+2ba}=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ba}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}[/tex]
[tex]=\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{2abc}+\frac{3abc}{2abc}=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{2abc}+\frac{3}{2}=0+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
Chắc bạn học rồi: [tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)[/tex]
Chúc bạn học tốt!

 

[iceghost]

Cho a+b+c=0( a,b,c khác 0)
Tính a^2/(a^2-b^2-c^2)+b^2/(b^2-c^2-a^2)+c^2/(c^2-a^2-b^2)

Ta thấy:[tex]a+b+c=0\Rightarrow a=-b-c\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc[/tex]
Từ đó ta có:[tex]\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ca}+\frac{c^2}{2ab}[/tex]

Cách khác để khỏi chứng minh lại đẳng thức về $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$:
$\dfrac{a^2}{bc} + \dfrac{b^2}{ca} + \dfrac{c^2}{ab}$
$= \dfrac{a^2}{bc} + \dfrac{(a+c)^2}{ca} + \dfrac{c^2}{ab}$
$= \dfrac{a^2}{bc} + \dfrac{a}{c} + 2 + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c^2}{ab}$
$= \dfrac{a(a+b)}{bc} + \dfrac{c(c+b)}{ab} + 2$
$= -\dfrac{ac}{bc} - \dfrac{ca}{ab} + 2$
$= -\dfrac{a + c}{b} + 2$
$= 1 + 2 = 3$
...