Tìm

[ooo_ooo_9889]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm tam giác vuông có các cạnh là số tự nhiên và diện tích gấp đôi chu vi

 

[hthtb22]

Hu hu lại nhắc tới kỉ niệm buồn
Đây là bài 1 thi HSG Thái Bình 2011-2012
Gọi các cạnh là :a,b,c (là số nguyên)(c max)
Ta có
+ [tex]a^2+b^2=c^2[/tex] (1)
+ [tex]2.\frac{ab}{2}=a+b+c[/tex] (2)
Từ (2) \Rightarrow[tex]2.\frac{ab}{2}-a-b=c[/tex]
Thay phương trình (1) ta có:
[tex]a^2+b^2=(ab-a-b)^2[/tex]
\Leftrightarrow [tex]a^2+b^2=(ab)^2+a^2+b^2+2ab-2ab(a+b)[/tex]
\Leftrightarrow [tex]ab-2a-2b+2=0[/tex]
\Leftrightarrow [tex](a-2)(b-2)=2[/tex]
Xét ước số tìm ra a,b,c là bộ 3,4,5.

 

[minhtuyb]

Diện tích gấp đôi chu vi chứ đâu phải chu vi gấp đôi diện tích nhỉ ?
Đáng nhẽ ra phải là giải hệ sau:
$$\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=c^2\\\dfrac{ab}{2}=2(a+b+c) \end{matrix}\right.$$
Sau một vài bước biến đổi pt 2 ta được:
$$(ab-4a-4b)^2=16c^2\\ \Leftrightarrow a^2b^2+16a^2+16b^2-8ab(a+b)+32ab=16a^2+16b^2\\ \Leftrightarrow ab-8(a+b)+32=0\\ \Leftrightarrow (a-8)(b-8)=32$$
KMTTQ, giả sử $a\ge b$. Giải pt ước số trên thu được $(a;b)=(40;9);(24;10);(16;12)$
Từ đây tìm đuợc các bộ số thoả mãn là $(24;10;26);(16;12;20)$ (đã thử qua BĐT tam giác)
K/l:...