tìm $x,y$ thoả mãn $x^3+y^3=x^4+y^4=1$

P

pandahieu

S

sieutrom1412

1) Gọi số cần tìm là ab, ta có 10a +b = k.a.b
Điều kiện : a,b nhận giá trị từ 0 đến 9 và k là số nguyên dương
=> b= 10.a / (k.a -1)
=>b =10/(k-1/a)

Do điều kiện đã đặt nên (k - 1/a )phải có giá trị 5/3 hoặc 2 hoặc 2,5 hoặc 5 hoặc 10 (vì số 10 chỉ chia cho các số nay là có số nguyên, dương và <=9)
* Nếu k-1/a = 2 => a(k-2) = 1,
* Nếu k-1/a = 5 => a(k-5) = 1,
* Nếu k-1/a = 10 => a(k-10) = 1,với 3 trường hợp nêu trên thì dễ thấy a=1; => b=10/(k-1), theo điều kiện thì b= 1 hoặc 2 hoặc 5.Vậy số đó là các số : 11; 12 hoặc 15
* Nếu k-1/a = 2,5 =>a=1/(k-2,5) => a nhận giá trị là 2=> b= 10/(k-1/2) = 20/(2k-1) thì b chỉ nhận giá trị là 4. Vậy các số đó là 24
*Nếu k-1/a = 5/3 =>a.(3k-5)=3 => a= 3(vì tích 2 số nguyên = 3 thì chỉ có số 1 và số 3) => b=6
Vậy số đó là số 36.
Kết luận : các số đó là 11; 12; 15; 24 và 36.
 
C

c2nghiahoalgbg


Ta có:
$a(1-b)$ \geq$ a^2(1-b)$
$b(1-c)$ \geq$ b^2(1-c)$
$c(1-a)$ \geq $c^2(1-a)$
Cộng vế với vế các BDT trên ta được:
$1-(1-a)+b(1-a)-bc(1-a)+c(1-a)-abc$ \geq $a^2+b^2+c^2-(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Leftrightarrow $1-(1-a)(1-b)(1-c)-abc$ \geq $a^2+b^2+c^2-(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2$ \leq $1+a^2b+b^2c+c^2a+abc+(1-a)(1-b)(1-c)$
Vì abc \geq 0 và (1-a)(1-b)(1-a) \geq 0
Nên ta có đpcm
 
Last edited by a moderator:
C

conga222222


$\eqalign{
& cau\;2b: \cr
& TH1:\;xy > {\text{0}} \to {\text{x > 0}} \to {\text{y > 0}}\;\left( {neu\;x < 0 \to y < 0 \to {x^3} + {y^3} < 0\;ko\;T/M} \right) \cr
& \to {x^4} = 1 - {y^4} < 1 \to x < 1 \to {x^3} < 1 \to {x^4} < {x^3}\;\left( {do\;x,y > 0} \right) \cr
& tuong\;tu\;{y^4} < {x^3} \cr
& \to {x^4} + {y^4} < {x^3} + {y^3} \to vo\;nghiem \cr
& TH2:xy < 0 \cr
& neu\;x < 0 \to y < 0 \to {y^3} = 1 - {x^3} > 1 \to y > 1 \to {x^4} + {y^4} > 1 \cr
& neux > 0 \to y < 0 \to ... \cr
& \to vo\;nghiem \cr
& TH3:\;xy = 0 \to ... \cr} $
 
Last edited by a moderator:
B

braga

$\fbox{2b}$. Từ $x^4+y^4=1$ ta có $x,y \in \left [ -1;1 \right ]$
Ta xét 3 TH sau :
TH1 : $x,y \in \left [ 0;1 \right ]$
Ta có $x^4+y^4=x^3+y^3\Rightarrow x^3(x-1)+y^3(y-1)=0$
Do đk nên ta có $\Rightarrow x^3(x-1)+y^3(y-1)\le 0$
Vậy hệ có nghiệm là $(x,y)=(0,1)=(1,0)$
TH2 : $x,y \in \left [ -1;0 \right ]$
Khi đó dễ thấy $x^3+y^3\le 0< 1$
Vậy hệ vô nghiệm
TH3 : Do vai trò cuả $x,y$ là như nhau nên ta có thể giả sử $x \geq y$
Giả sử $x \in (0;1),y \in (-1;0)$
Khi đó dễ thấy $x^3+y^3< 1+0=1$
Vậy hệ vô nghiệm
Tóm lại hệ đã cho có nghiệm $(x,y)=(0,1)=(1,0)$
 
P

pandahieu

c2nghiahoalgbg said:

Ta có:
$a(1-b)$ \geq$ a^2(1-b)$
$b(1-c)$ \geq$ b^2(1-c)$
$c(1-a)$ \geq $c^2(1-a)$
Cộng vế với vế các BDT trên ta được:
$1-(1-a)+b(1-a)-bc(1-a)+c(1-a)-abc$ \geq $a^2+b^2+c^2-(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Leftrightarrow $1-(1-a)(1-b)(1-c)-abc$ \geq $a^2+b^2+c^2-(a^2b+b^2c+c^2a)$
\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2$ \leq $1+a^2b+b^2c+c^2a+abc+(1-a)(1-b)(1-c)$
Vì abc \geq 0 và (1-a)(1-b)(1-a) \geq 0
Nên ta có đpcm
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Chỗ đó bạn bị sai rồi, phải là
\Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2+(1-a)(1-b)(1-c)+abc \le 1+a^2b+b^2c+c^2a$
Cái này đúng do $abc \ge 0$ và $(1-a)(1-b)(1-a) \ge 0$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom