Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn [tex]3^{x}-y^3=1[/tex]
$x$ là số tự nhiên
Suy ra $y$ cũng phải là số tự nhiên
$PT\Leftrightarrow 3^{x}=y^{3}+1=(y+1)(y^{2}-y+1)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+1=3^{m} & (1)\\ y^{2}-y+1=3^{n} & (2)\\ m+n=x & \end{matrix}\right.(m;n\in \mathbb{N})$
Thế $(1)$ vào $(2)$ :
$\Rightarrow (3^{m}-1)^{2}+(3^{m}-1)+1=3^{n}\Leftrightarrow 3^{2m}-3^{m+1}+3=3^{n}$ $(3)$
Xét $m\geq 2$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3^{2m}-3^{m+1}+3\equiv 3(\mod 9) & (4)\\ y=3^{m}-1 \geq 8& \end{matrix}\right.$
Từ $(2)$ suy ra :
$3^{n}=y(y-1)+1\geq 8.7+1=57\Rightarrow n\geq 4$
$\Rightarrow 3^{n}\vdots 9$ $(5)$
Từ $(4)$ và $(5)$ suy ra $(3)$ không xảy ra
Xét $m=1$
$\Rightarrow y=2\Rightarrow x=2$
Xét $m=0$
$\Rightarrow y=0\Rightarrow x=0$
#khang
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
