Toán 8 Tìm x, y nguyên dương để x^2 + 3y và y^2 + 3x là số chính phương

[shatox555]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm tất cả các số nguyên dương (x;y) sao cho x^2+3y và y^2+3x là số chính phương.

 

[Lê Tự Đông]

Đặt $x^{2}+3y=m^{2}$ với m nguyên dương, m>x
Giả sử x>=y => 4x>3y
Đặt m = x+t với t nguyên dương
Nếu t>=2
=> $x^{2}+3y = (x+t)^{2} = x^{2} +2xt + t^{2}$
=> $2xt + t^{2} = 3y$ (1)
Có t>=2 nên 2xt >=2.x.2 = 4x>3y
=> $2xt + t^{2}>3y$ trái với (1)
=> t<2
=> t=1
=> $2xt+t{2} = 2x+1 = 3y$
=> $x = \frac{3y-1}{2}$
=> $3x = \frac{9y-3}{2} < \frac{10y}{2} = 5y$
Đặt $y^{2}+3x = n^{2}$ n nguyên dương
Đặt n = y+a với a nguyên dương
=> $ 2ay + a^{2} = 3x$ (2)
Xét a>=3
=> 2ay > 5y > 3x Trái với (2)
=> a<3
=> a=1 hoặc a=2
Sau đó xét từng th của a là được