Với bài dạng này thì mình sẽ tìm 2 số nguyên [imath]a[/imath], [imath]b[/imath] sao cho [imath]a\le \dfrac{x+2}{x^2+2x+2} \le b[/imath] bằng cách nhẩm. Ở đây mình tìm ra được [imath]-1< \dfrac{x+2}{x^2+2x+2}< 2[/imath]
Ta chứng minh [imath]-1< \dfrac{x+2}{x^2+2x+2}[/imath]
Thật vậy, ta có:
[imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}+1=\dfrac{x^2+3x+4}{x^2+2x+2}=\dfrac{\left(x+\dfrac32\right)^2+\dfrac74}{\left(x+1\right)^2+1}> 0[/imath]
Do đó [imath]-1< \dfrac{x+2}{x^2+2x+2}[/imath]
Ta chứng minh [imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}< 2[/imath]
Thật vậy, ta có:
[imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}-2=\dfrac{-2x^2-3x-2}{x^2+2x+2}=\dfrac{-2\left(x+\dfrac34\right)^2-\dfrac{7}{8}}{\left(x+1\right)^2+1}< 0[/imath]
Do đó [imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}< 2[/imath]
Vậy [imath]-1< \dfrac{x+2}{x^2+2x+2}< 2[/imath]. Vì [imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}[/imath] nguyên nên [imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}=0[/imath] hoặc [imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}=1[/imath]
Nếu [imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}=0\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2[/imath](TM)
Nếu [imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}=1\Leftrightarrow x+2=x^2+2x+2\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Leftrightarrow x=0[/imath](TM) hoặc [imath]x=-1[/imath](TM)
Vậy tập hợp các giá trị nguyên của [imath]\dfrac{x+2}{x^2+2x+2}[/imath] là [imath]\{0;1\}[/imath]
Nếu có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.
Ngoài ra bạn có thể tham khảo thêm
Chuyên đề toán 8 cả năm.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
