Ta có $A, O, E$ thẳng hàng, suy ra $AE, BN, CM$ đồng quy
Khi đó ta có :
$\dfrac{S_{\Delta OBE}}{S_{\Delta OCE}}=\dfrac{BE}{CE}$ (do cùng chung đường cao hạ từ $O$ xuống $BC$)
Tương tự : $\dfrac{S_{\Delta ABE}}{S_{\Delta ACE}}=\dfrac{BE}{CE}$ (do cùng chung đường cao hạ từ $A$ xuống $BC$)
Từ đó $\Rightarrow \dfrac{BE}{CE}=\dfrac{S_{\Delta ABE}}{S_{\Delta ACE}}=\dfrac{S_{\Delta OBE}}{S_{\Delta OCE}}=\dfrac{S_{S_{\Delta ABE}-\Delta OBE}}{S_{\Delta ACE}-S_{\Delta OCE}}=\dfrac{S_{\Delta AOB}}{S_{\Delta AOC}}$
Tương tự thì ta có: $\dfrac{CN}{AN}=\dfrac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta BOA}}$, $\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{S_{\Delta OAC}}{S_{\Delta OBC}}$
Suy ra $ \dfrac{BE}{CE}\cdot\dfrac{CN}{AN}\cdot\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{S_{\Delta AOB}}{S_{\Delta AOC}}\cdot\dfrac{S_{\Delta BOC}}{S_{\Delta BOA}}\cdot\dfrac{S_{\Delta OAC}}{S_{\Delta OBC}}=1$
Gọi $E'$ là điểm thuộc đoạn $BC$ thoả $\dfrac{BE'}{CE'}\cdot\dfrac{CN}{AN}\cdot\dfrac{AM}{BM}=1$
Suy ra $\dfrac{BE'}{CE'}=\dfrac{BE}{CE}$
$\Rightarrow \dfrac{BE'}{CE'}+1=\dfrac{BE}{CE}+1$
$\Rightarrow \dfrac{BC}{CE'}=\dfrac{BC}{CE}\Rightarrow CE=CE'\Rightarrow E\equiv E'$
Vậy ta kết luận $\dfrac{BE}{CE}\cdot\dfrac{CN}{AN}\cdot\dfrac{AM}{BM}=1\Leftrightarrow A, O, E$ thẳng hàng
Suy ra $\dfrac{BE}{CE}=6\Rightarrow\overrightarrow{BE}=\dfrac{6}{7}\overrightarrow{BC}\Rightarrow x=\dfrac{6}{7}$
Bài này mình sử dụng định lý Céva đảo để làm nha, có thắc mắc thì có thể hỏi lại, chúc bạn học tốt.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
