Toán 9 Tìm x biết: x = [tex]\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}[/tex].

[Hàn Thiên_Băng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm x biết: x = [tex]\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}[/tex]. Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn.

 

[Ann Lee]

Tìm x biết: x = [tex]\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}[/tex]. Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn.

Nhận thấy [tex]x>2[/tex]
Xét [tex]x^2=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}\\\Leftrightarrow x^2-5=\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}=\sqrt{13+x}\\\Rightarrow (x^2-5)^2=13+x\\\Leftrightarrow x^4-10x^2-x+12=0\\\Leftrightarrow (x^4-9x^2)-(x^2-9)-(x-3)=0\\\Leftrightarrow (x-3)[(x+3)(x+1)(x-1)-1]=0[/tex]
Vì [tex]x>2\Rightarrow (x-3)[(x+3)(x+1)(x-1)-1>0\Rightarrow x-3=0\Leftrightarrow x=3[/tex]
Vậy [TEX]x=3[/TEX]

 

[lengoctutb]

Tìm x biết: x = [tex]\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}[/tex]. Trong đó các dấu chấm có nghĩa là lặp đi lặp lại cách viết căn thức có chứa 5 và 13 một cách vô hạn.

Mình sẽ chứng minh $x>2$ để bài của @Ann Lee chặt chẽ thêm $!$
Ta có $:$ $5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}>4 \Rightarrow x= \sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}} >\sqrt{4}=2$