You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an
alternative browser.
Cho $n \in \mathbb{N^*}$. Tìm UCLN của $3^n+5^n$ và $3^{n+2}+5^{n+2}$
Gọi $(3^n+5^n; 3^{n+2}+5^{n+2}) = d$ thì
$3^{n+2}+5^{n+2} \vdots d$
\Leftrightarrow $9.3^n + 25.5^n \vdots d$ (1)
và $3^n+5^n \vdots d$ \Leftrightarrow $9.3^n+9.5^n \vdots d$ (2)
Từ $(1)$ và $(2)$ \Rightarrow $16.5^n \vdots d$
nhận thấy $3^n+5^n $ không chia hết cho $5$, nên $d$ không chia hết cho $5$
Hay $5^n$ không chia hết cho $d$
\Rightarrow $16 \vdots d$
\Rightarrow $d=1;2;4;8;16$
- với $n=2k$ thì $3^n + 5^n$ không chia hết cho $4$ (cái này bạn tự chứng minh nhé)
Tức là với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ thì d chỉ có thể lớn nhất là $2$
thử lại thì thấy $3^n + 5^n$ = lẻ + lẻ =chẵn (đúng)
$3^{n+2}+5^{n+2}$= lẻ + lẻ= chẵn (đúng)
Vậy $2$ là ƯCLN cần tìm.
- với $n=2^{2k+1}$ thì $3^n + 5^n \vdots 8$ và $3^{n+2}+5^{n+2} \vdots 8$
lại có $3^n + 5^n = 3^{2k+1} + 5^{2k+1}= 3.9^k + 5.25^k = 8.9^k + 5(25^k - 9^k)$
ta có $25^k - 9^k \vdots (25-9) = 16$
mà $8.9^k$ không chia hết cho $16 $
\Rightarrow $3^n + 5^n$ không chia hết cho $16$
vậy ƯCLN cần tìm là $8$
Vậy khi $n$ chẵn thì ƯCLN là $2$, n lẻ thì ƯCLN là $8$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn