- 27 Tháng ba 2016
- 57
- 36
- 26
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Bách Khoa TP.HCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Việc tìm tọa độ hình chiếu và phương trình đường vuông góc chung đã trở thành khá quen thuộc nhưng việc giải nhanh thì còn là một vấn đề. Mình xin giới thiệu với các bạn cách giải nhanh cho hai vấn đè này vì hai bài toán này dường như nó đã đưa vào một bước để đi đến giải một bài toán khó hơn.
I/ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG.
Phương pháp: Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]A(x_{0};y_{0};z_{0})[/tex] trên mặt phẳng [tex](P):Ax + By + Cz + D = 0[/tex]
[tex]+ K = \frac{{A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\\ + H:\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = {x_0} - K.A\\ {y_H} = {y_0} - K.B\\ {z_H} = {z_0} - K.C \end{array} \right.[/tex]
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]A(3;2;-1)[/tex] trên mặt phẳng [tex](P):x+y-z=0 = 0[/tex]
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]A(2;-1;0)[/tex] trên mặt phẳng [tex](P):3x-2y+z+6=0 = 0[/tex]
II/ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]M(x_{0};y_{0};z_{0})[/tex] trên đường thẳng [tex]d:\left\{ \begin{array}{l} x = a + At\\ y = b + Bt\\ z = c + Ct \end{array} \right.[/tex]
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]M(2;0;1)[/tex] trên đường thẳng [tex]d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}[/tex]
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]M(1;2;-3)[/tex] trên đường thẳng [tex]d:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right.[/tex]
III/ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG.
VD1:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng [tex]{d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}[/tex] và [tex]{d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}[/tex] . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Cho X=100 và Y=1/100
[tex]\left\{ \begin{array}{l} VctA( - 1 + 2X; - 2 + X;1 + X)\\ VctB( - 2 - 4Y;1 + Y; - 2 - Y) \end{array} \right.\\ VctC(2;1;1)\\ = > (VctA - VctB).VctC = 602,08 = 6{t_1} + 2 + 8{t_2} = 0(1)\\ VctC( - 4;1; - 1)\\ = > (VctA - VctB).VctC = - 810,18 = - (8{t_1} + 10 + 18{t_2}) = 0(2)\\ (1)(2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {t_1} = 1\\ {t_2} = - 1 \end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l} M(1; - 1;2)\\ N(2;0; - 1) \end{array} \right.[/tex]
[tex]\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3}[/tex]
VD2:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng [tex]{d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - {t_1}\\ y = 2 + 2{t_1}\\ z = 3{t_1} \end{array} \right.[/tex] và [tex]{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + {t_2}\\ y = 3 - 2{t_2}\\ z = - 1 + 2{t_2} \end{array} \right.[/tex] . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
[tex]\left\{ \begin{array}{l} VctA(1 - X;2 + 2X;3X)\\ VctB(1 + Y;3 - 2Y; - 1 + 2Y) \end{array} \right.\\ VctC( - 1;2;3)\\ = > (VctA - VctB).VctC = 1400,99 = 14{t_1} + 1 - {t_2} = 0(1)\\ VctC(1; - 2;2)\\ = > (VctA - VctB).VctC = 103,91 = {t_1} + 4 - 9{t_2} = 0(2)\\ (1)(2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {t_1} = \frac{{ - 1}}{{25}}\\ {t_2} = \frac{{11}}{{25}} \end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l} M(\frac{{26}}{{25}};\frac{{48}}{{25}};\frac{{ - 3}}{{25}})\\ N(\frac{{36}}{{25}};\frac{{53}}{{25}};\frac{{ - 3}}{{25}}) \end{array} \right.\\ \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{26}}{{25}} + 2t\\ y = \frac{{48}}{{25}} + t\\ z = \frac{{ - 3}}{{25}} \end{array} \right.[/tex]
Bên trên mình đã giới thiệu một số cách giải nhanh do dạng tìm hinhg chiếu và tìm phương trình đường vuông góc chung. Hy vọng các bạn sẽ tìm hiểu và áp dụng giải nhiều bài tương tự. Cảm ơn các bạn đã xem bài viết của mình. Chúc các bạn học tốt!
I/ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG.
Phương pháp: Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]A(x_{0};y_{0};z_{0})[/tex] trên mặt phẳng [tex](P):Ax + By + Cz + D = 0[/tex]
[tex]+ K = \frac{{A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D}}{{{A^2} + {B^2} + {C^2}}}\\ + H:\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = {x_0} - K.A\\ {y_H} = {y_0} - K.B\\ {z_H} = {z_0} - K.C \end{array} \right.[/tex]
Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]A(3;2;-1)[/tex] trên mặt phẳng [tex](P):x+y-z=0 = 0[/tex]
Gợi ý cách giải
[tex]+ K = \frac{{3 + 2 - ( - 1)}}{{{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}} = 2\\ + H:\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = 3 - 2.1 = 1\\ {y_H} = 2 - 2.1 = 0\\ {z_H} = - 1 - 2.( - 1) = 1 \end{array} \right.\\ = > H(1;0;1)[/tex] Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]A(2;-1;0)[/tex] trên mặt phẳng [tex](P):3x-2y+z+6=0 = 0[/tex]
Gợi ý cách giải
[tex]+ K = \frac{{3.2 - 2.( - 1) + 0 + 6}}{{{3^2} + {{( - 2)}^2} + {1^2}}} = 1\\ + H:\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = 2 - 1.3 = - 1\\ {y_H} = - 1 - 1.( - 2) = 1\\ {z_H} = 0 - 1.1 = - 1 \end{array} \right.\\ = > H( - 1;1; - 1)[/tex] II/ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]M(x_{0};y_{0};z_{0})[/tex] trên đường thẳng [tex]d:\left\{ \begin{array}{l} x = a + At\\ y = b + Bt\\ z = c + Ct \end{array} \right.[/tex]
Gợi ý cách giải
[tex]+ VctA(a;b;c)\\ + VctB(A;B;C)\\ + VctC({x_0};{y_0};{z_0})\\ = > VctA - (((VctA - VctC).VctB):Abs{(VctB)^2})VctB[/tex] Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]M(2;0;1)[/tex] trên đường thẳng [tex]d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}[/tex]
Gợi ý cách giải
[tex]+ VctA(1;0;2)\\ + VctB(1;2;1)\\ + VctC(2;0;1)\\ \Rightarrow VctA - (((VctA - VctC).VctB):Abs{(VctB)^2})VctB\\ \Rightarrow H(1;0;2)[/tex] Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm [tex]M(1;2;-3)[/tex] trên đường thẳng [tex]d:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = 1 + 2t \end{array} \right.[/tex]
Gợi ý cách giải
[tex]+ VctA(3; - 1;1)\\ + VctB(2;1;2)\\ + VctC(1;2; - 3)\\ = > VctA - (((VctA - VctC).VctB):Abs{(VctB)^2})VctB\\ = > H(1; - 2; - 1)[/tex] III/ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG.
VD1:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng [tex]{d_1}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}[/tex] và [tex]{d_2}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 1}}[/tex] . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Gợi ý cách giải
[tex]{d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2{t_1}\\ y = - 2 + {t_1}\\ z = 1 + {t_1} \end{array} \right.\\ {d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 - 4{t_2}\\ y = 1 + {t_2}\\ z = - 2 - {t_2} \end{array} \right.[/tex] Cho X=100 và Y=1/100
[tex]\left\{ \begin{array}{l} VctA( - 1 + 2X; - 2 + X;1 + X)\\ VctB( - 2 - 4Y;1 + Y; - 2 - Y) \end{array} \right.\\ VctC(2;1;1)\\ = > (VctA - VctB).VctC = 602,08 = 6{t_1} + 2 + 8{t_2} = 0(1)\\ VctC( - 4;1; - 1)\\ = > (VctA - VctB).VctC = - 810,18 = - (8{t_1} + 10 + 18{t_2}) = 0(2)\\ (1)(2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {t_1} = 1\\ {t_2} = - 1 \end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l} M(1; - 1;2)\\ N(2;0; - 1) \end{array} \right.[/tex]
[tex]\Delta :\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{3}[/tex]
VD2:
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng [tex]{d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - {t_1}\\ y = 2 + 2{t_1}\\ z = 3{t_1} \end{array} \right.[/tex] và [tex]{d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + {t_2}\\ y = 3 - 2{t_2}\\ z = - 1 + 2{t_2} \end{array} \right.[/tex] . Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2.
Gợi ý cách giải
Cho X=100 và Y=1/100[tex]\left\{ \begin{array}{l} VctA(1 - X;2 + 2X;3X)\\ VctB(1 + Y;3 - 2Y; - 1 + 2Y) \end{array} \right.\\ VctC( - 1;2;3)\\ = > (VctA - VctB).VctC = 1400,99 = 14{t_1} + 1 - {t_2} = 0(1)\\ VctC(1; - 2;2)\\ = > (VctA - VctB).VctC = 103,91 = {t_1} + 4 - 9{t_2} = 0(2)\\ (1)(2) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {t_1} = \frac{{ - 1}}{{25}}\\ {t_2} = \frac{{11}}{{25}} \end{array} \right. = > \left\{ \begin{array}{l} M(\frac{{26}}{{25}};\frac{{48}}{{25}};\frac{{ - 3}}{{25}})\\ N(\frac{{36}}{{25}};\frac{{53}}{{25}};\frac{{ - 3}}{{25}}) \end{array} \right.\\ \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{26}}{{25}} + 2t\\ y = \frac{{48}}{{25}} + t\\ z = \frac{{ - 3}}{{25}} \end{array} \right.[/tex]
Bên trên mình đã giới thiệu một số cách giải nhanh do dạng tìm hinhg chiếu và tìm phương trình đường vuông góc chung. Hy vọng các bạn sẽ tìm hiểu và áp dụng giải nhiều bài tương tự. Cảm ơn các bạn đã xem bài viết của mình. Chúc các bạn học tốt!
