tìm tham số m khó

M

mydung_96

K

kunngocdangyeu

mydung_96 said:
cho hàm số [TEX]y= {x}^{3} -3m{x}^{2} +2[/TEX]
Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị đồng thời đường thẳng đi qua 2 điểm đó cắt đường tròn tâm I(1;1) có R=1 tại A, B mà diện tích tam giac IAB lớn nhất
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có: y'=[TEX]3{x}^{2}-6mx[/TEX]
y'=0 [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]3{x}^{2}-6mx=0[/TEX] [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] x=0 hoặc x=2m
Để hàm số có 2 cực trị thì [TEX]m \neq 0[/TEX]

Khi đó: [TEX]y=(x-m)( {x}^{2}-2mx)-2{m}^{2}x+2[/TEX] (1)
Thay tọa độ 2 điểm cực trị vào (1) :
x=0 => y=-2[TEX]{m}^{2}[/TEX].0+2=2
x=2m => y=-2[TEX]{m}^{2}[/TEX].2m+2=-4[TEX]{m}^{3}[/TEX]+2

Ta thấy, tọa độ 2 điểm cực trị thỏa mãn phương trình: [TEX]y=-2{m}^{2}x+2[/TEX] (2)
Vậy d:y=[TEX]-2{m}^{2}x+2[/TEX] là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Mặt khác, đường tròn tâm I(1;1) bán bính R=1 có phương trình:
(C): [TEX] {(x-1)}^{2}+{(y-1)}^{2}=1[/TEX]
Hay (C): [TEX] {x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y+1=0[/TEX] (3)

Thế (2) và (3), ta được:
[TEX] {x}^{2}+{(-2{m}^{2}x+2)}^{2}-2x-2(-2{m}^{2}x+2)+1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX](4{m}^{2}+1){x}^{2}-(4{m}^{2}+2)x+1=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] x=1 và [TEX]x=\frac{1}{4{m}^{4}+1}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX](d) \bigcap (C)[/TEX] tại 2 điểm [TEX]A(1;-2{m}^{2}+2) , B(\frac{1}{4{m}^{4}+1};\frac{8{m}^{4}-2{m}^{2}+2}{4{m}^{4}+1}) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\vec{BA}=(\frac{4{m}^{4}}{4{m}^{4}+1};\frac{-8{m}^{6}}{4{m}^{4}+1})[/TEX]

Mặt khác: d(I,AB)=[TEX]\frac{2{m}^{2}.1+1-2}{\sqrt{4{m}^{4}+1}}[/TEX]

Vậy diện tích tam giác IAB là:
S=[TEX]\frac{|2{m}^{2}.1+1-2|}{2.\sqrt{4{m}^{4}+1}}.|\vec{BA}|[/TEX]
=[TEX]\frac{|2{m}^{2}.1-1|}{2.\sqrt{4{m}^{4}+1}}.\frac{4{m}^{4}}{\sqrt{4{m}^{4}+1}}[/TEX]
=[TEX]\frac{2{m}^{4}.|2{m}^{2}-1|}{4{m}^{4}+1}[/TEX]

Đặt [TEX]{m}^{2}=a[/TEX] (a>0)
Xét hàm số: f(a)[TEX]=\frac{2{a}^{2}.|2a-1|}{4{a}^{2}+1}[/TEX] Với [TEX]a\in (0;\frac{1+\sqrt{2}}{2})[/TEX]

Giá trị lớn nhất của f(a) chính là diện tích lớn nhất của tam giác IAB


:khi (184): Loạn hết cả, không biết m làm có đúng không nữa:khi (163):
 
Last edited by a moderator:
S

sam_chuoi

Umbala

Phải xét 2 trường hợp của m là m>0 và m<0 để tìm toạ độ 2 điểm cực trị. Khi biết toạ độ 2 điểm ta viết được pt đt qua 2 điểm đó theo m. Lấy 2 giao điểm của đường tròn với đt theo m. Ta có S(AIB)=1/2.IA.IB.SinAIB=1/2.R^2.sinAIB Max khi sinAIB Max=1 tức là AI vuông BI. Tính được 2 vectơ theo m rồi dùng tích vô hướng =0 dựa vào đk m tìm được m.
 
S

sam_chuoi

Umbala

Thực ra xét đk của m chỉ là lí thuyết để biết được toạ độ cực đại, cực tiểu nhưng đt qua 2 điểm đó vẫn không thay đổi nên trong bài này không xét cũng không sao.
 
C

chonvuiqakhu

ai giúp mình bài này đi

Cho hàm số y=x^4 - 2mx^2 +2.Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua D(3/5;9/5)
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom