Đặt [tex]\left\{\begin{matrix} x=zx_1\\ y=zy_1 \end{matrix}\right. (x_1,y_1)=1[/tex]
Phương trình trở thành: [tex]x_1z+(y_1z)^2+z^2=x_1y_1z^3\Rightarrow x_1+y_1^2z+z=x_1y_1z^2[/tex]
Dễ thấy [TEX]x_1 \vdots z [/TEX]. Đặt [tex]x_1=zt (t \in \mathbb{N}, (t,y_1)=1) \Rightarrow zt+zy_1^2=ty_1z^3\Leftrightarrow \Leftrightarrow t+y_1^2=ty_1z^2\Rightarrow y_1^2-y_1.tz^2+t=0[/tex]
Để phương trình có nghiệm nguyên thì [tex]\Delta =(tz^2)^2-4t=t^2z^4-4t[/tex] là số chính phương.
Mà [tex]t^2z^4-4t= (tz^2-1)^2+2(tz^2-2t)-1=[/tex]
+ Nếu [TEX]t = 0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow y=z=0[/TEX] (loại)
+ Nếu [TEX]t \neq 0[/TEX]
Khi đó nếu [TEX]z=1 \Rightarrow t^2-4t[/TEX] là số chính phương khi [tex]t^2-4t=(t-2)^2-4=m^2(m \in \mathbb{N})\Leftrightarrow (t-2-m)(t-2+m)=4\Rightarrow t-2-m=t-2+m=2\Rightarrow t=4[/tex]
Khi đó ta có: [TEX]y_1^2-4y_1+4=0 \Rightarrow y_1=2 \Rightarrow x=4,y=2,z=1[/TEX] (loại)
Với [TEX]z \geq 2[/TEX] thì [tex](tz^2)^2 > (tz^2)^2-4t = (tz^2-1)^2+2(tz^2-t)-1 > (tz^2-1)^2+2t-1 > (tz^2-1)^2[/tex] nên không tồn tại t,z thỏa mãn.
Vậy không có giá trị của x,y,z thỏa mãn.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
