Toán 9 Tìm tất cả các số nguyên dương [imath]a, b[/imath] sao cho

[Minh Tiến pro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tìm tất cả các số nguyên dương [imath]a, b[/imath] sao cho số [imath]\left(a^{3}+b\right)\left(b^{3}+a\right)[/imath] là lập phương của một số nguyên tố.

2) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222...2 gồm 2022 chữ số 2. Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp nào đó có chữ số ngoài cùng bên trái bằng 2 , rồi biến đổi các chữ số được chọn theo qui tắc: chứ số 2 đổi thành chữ số 0 còn chữ số 0 đổi thành chữ số 2 .
a) Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số hữu hạn bước.
b) Giả sử sau khi thực hiện được [imath]n[/imath] bước thì không thể thực hiện được thêm bước nào nữa. Chứng minh [imath]n[/imath] là số lẻ.


dạ các anh chị giúp em câu này với ạ, em cảm ơn

 

[chi254]

1) Tìm tất cả các số nguyên dương [imath]a, b[/imath] sao cho số [imath]\left(a^{3}+b\right)\left(b^{3}+a\right)[/imath] là lập phương của một số nguyên tố.

2) Trên bảng ta viết số tự nhiên 222...2 gồm 2022 chữ số 2. Mỗi bước ta chọn 22 chữ số liên tiếp nào đó có chữ số ngoài cùng bên trái bằng 2 , rồi biến đổi các chữ số được chọn theo qui tắc: chứ số 2 đổi thành chữ số 0 còn chữ số 0 đổi thành chữ số 2 .
a) Chứng minh mọi cách thực hiện đều phải dừng lại sau một số hữu hạn bước.
b) Giả sử sau khi thực hiện được [imath]n[/imath] bước thì không thể thực hiện được thêm bước nào nữa. Chứng minh [imath]n[/imath] là số lẻ.


dạ các anh chị giúp em câu này với ạ, em cảm ơn

Minh Tiến proEm tham khảo nhé
1. Giả sử tồn taì số nguyển tố [imath]p[/imath] sao cho [imath]\left(a^{3}+b\right)\left(b^{3}+a\right)=p^{3}[/imath].
Rō ràng [imath]a \neq b[/imath] vì nếu [imath]a=b[/imath] thì [imath]p^{3}=\left(a^{3}+a\right)^{2}[/imath]. Diều này vô lí do [imath]p[/imath] là số nguyên tố.
Giă sử [imath]a>b[/imath]. Với chû ý râng UD [imath]\left(p^{3}\right)=\left\{1 ; p ; p^{2} ; p^{3}\right\}[/imath] ta suy ra
[math]\left\{\begin{array} { c } { a ^ { 3 } + b = p ^ { 2 } } \\ { a ^ { 3 } + b = p } \\ { p > a b } \end{array} \quad \text { hoặc } \left\{\begin{array}{c} b^{3}+a=1 \\ a^{3}+b=p^{3} . \end{array}\right.\right.[/math]Khả năng [imath]\left\{\begin{array}{c}b^{3}+a=1 \\ a^{3}+b=p^{3}\end{array}\right.[/imath] không thể xăy ra do [imath]b^{3}+a \geqslant 2[/imath] với mọi [imath]a, b \in \mathbb{Z}^{+}[/imath].
Ta có [imath]a=p-b^{3} \Rightarrow\left(p-b^{3}\right)^{3}+b=p^{2}[/imath]. Do đó, [imath]\left(p-b^{3}\right)^{3}+b=p^{2}[/imath] hay [imath]b^{9}-b: p .[/imath] V vây
[math]b(b-1)(b+1)\left(b^{2}+1\right)\left(b^{4}+1\right) \vdots p[/math]Tù đó suy ra [imath]\left[\begin{array}{l}b-1=0 \\ b^{4}+1 \vdots p .\end{array}\right.[/imath]
Ta xét hai trường hơp như sau
- [imath]b=1 \Rightarrow a^{3}+1=(a+1)^{2} \Rightarrow p=3, a=2 \Rightarrow a^{3}-a^{2}-2 a=0 \Rightarrow a(a-2)(a+1)=[/imath] [imath]0 .[/imath]
Khi đó [imath]a=1[/imath] hoăc [imath]a=2[/imath]. Thay vào ta đưọc [imath](a, b) \in\{(1,2),(2,1)\}[/imath].
- [imath]b^{4}+1 \vdots p[/imath]. Rõ ràng [imath]b\left(b^{3}+a\right)-\left(b^{4}+1\right) \vdots p[/imath]. Tư đó suy ra [imath]a \cdot b-1 \vdots p[/imath] (Vō lí vì [imath]p>a b>0[/imath] ).
[imath]\operatorname{Vây}(a, b) \in\{(1,2),(2,1)\}[/imath].

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học

 

[Minh Tiến pro]

Dạ chân thành cám ơn chị đã trợ giúp ạ.
Nhưng chủ yếu em cần bài tổ hợp bên dưới, còn bài nghiệm nguyên này khá cũ rồi nên em đã tìm ra