Tìm tất cả các số dương n để $5^n+1$ chia hết cho $7^{2000}$

[thinhrost1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Tìm tất cả các số dương n để $5^n+1$ chia hết cho $7^{2000}$

2) Giả sử p là số nguyên tố lẻ. Đặt:

$m=\dfrac{9^p-1}{8}$

Chứng minh rằng m là một hợp số lẻ, không chia hết cho 3 và:

$3^{m-1}\equiv 1(modm)$

Gợi ý bài 2: Áp dụng định lý Fecma

 

[kiemkhach1379]

ta có $7^2000$ có dạng $ 7^{4K}$ \Rightarrow $7^{2000}$ có chữ số tận cùng là 1 ( tính chất chữ số tận cùng . xét n = 0 \Rightarrow $5^n + 1 $ có chữ số tận cùng là 2 . với n > 0 \Rightarrow $ 5^n$ có chữ số tận cùng là 5 do đó $5^n + 1 $ có chữ số tận cùng là 6 . vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn đk đề bài .

 

[thinhrost1]

ta có $7^2000$ có dạng $ 7^{4K}$ \Rightarrow $7^{2000}$ có chữ số tận cùng là 1 ( tính chất chữ số tận cùng . xét n = 0 \Rightarrow $5^n + 1 $ có chữ số tận cùng là 2 . với n > 0 \Rightarrow $ 5^n$ có chữ số tận cùng là 5 do đó $5^n + 1 $ có chữ số tận cùng là 6 . vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn đk đề bài .

Bạn này sai một chỗ nghiêm trọng bởi theo tính chất chia hết a cho b thì chắc chắn rằng a không cần phải cùng chữ số tận cùng với b

Giả sử: $6 \vdots 3$

@cho xin xài mực đỏ tí

 

[macarongno.1]

ta có $7^2000$ có dạng $ 7^{4K}$ \Rightarrow $7^{2000}$ có chữ số tận cùng là 1 ( tính chất chữ số tận cùng . xét n = 0 \Rightarrow $5^n + 1 $ có chữ số tận cùng là 2 . với n > 0 \Rightarrow $ 5^n$ có chữ số tận cùng là 5 do đó $5^n + 1 $ có chữ số tận cùng là 6 . vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn đk đề bài .

Ok đây là cách giải cho bài này !

Đặt $a_k=6.7^{k-1} (k \geq 1)$

Khi đó $5^{a_k}-1$ chia hết cho$7^k$ nhưng không hoàn toàn chia hết cho $7^{k+1}.$

Chứng minh quy nạp. Với k=1 đúng, giả sử đúng với k+1, ta có:

$5^{a_{k+1}}-1=5^{7a_k}-1=(5^{a_k}-1)(5^{6a_k}+5^{5a_k}+...+5^{a_k}+1)$

Đặt $5^{6a_k}+5^{5a_k}+...+5^{a_k}+1=A$

Suy ra: $A=\sum_{i=0}^6 (7t+1)^i$ đồng dư 7 ($mod 7^2$)

Vậy theo nguyên lý quy nạp đúng.

Ta sẽ chứng minh thêm bổ đề $5^{n}$ đồng dư 1 (mod $7^k$) thì $n \vdots a_k$

Ta thấy k=1 đúng. Ta sẽ chứng minh đúng với k+1

$5^{n}$ đồng dư 1 (mod $7^{k+1}$) \Rightarrow $5^{n}$ đồng dư 1 (mod $7^k$) \Rightarrow n=t$a_k (t \in N*)$ theo quy nạp.

ta có:

$5^n-1=(5^{a_k}-1)B$

trong đó:

$B=\sum_{i=0}^{t-1} (5^{a_k})^i$ đồng dư t (mod 7)

Theo điều trên ta phải có:

B chia hết cho 7 $\Rightarrow t \vdots 7 \Leftrightarrow\Leftrightarrow n\vdots a_{k+1}=7a_k$

Theo bước 2 ta có:

$2n \vdots a_k \Leftrightarrow 3.7^{k-1}t$


Kết luận: $n=3.7^{k-1}t=3.7^{1999}$ với t lẻ

P/s: NVH
@soicon: chỗ màu đỏ bạn ghi nhầm. phải là $3.7^{1999}t$