Toán 11 Tìm tập giá trị hàm số lượng giác

[Tiến Phùng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Dạng bài tìm tập giá trị tức là ta tìm tất cả các giá trị mà hàm số y có thể đạt tới. Dạng bài này khác với bài tìm tập xác định. Cần phân biệt rõ ràng. Tìm tập xác định nghĩa là ta phải tìm tất cả những giá trị x mà thay vào hàm y, thì có thể tính được.

Ví dụ: [TEX]y=sinx[/TEX] có tập giá trị là [-1;1], vì như ta đã biết : [TEX]-1 \leq sinx \leq 1[/TEX]

Còn tập xác định của y=sinx thì là R vì với mọi x thuộc R, thay vào ta đều tính được y.

Vậy để làm được dạng bài này, cần nhớ:
[TEX]1. -1 \leq sinu,cosu \leq 1[/TEX] với mọi u thuộc R
Hàm [TEX]tanx,cotx [/TEX] thì có tập giá trị là R, với x thuộc R. nên nếu gặp bài xuất hiện tanx và cotx thì thường là sẽ tìm tập giá trị trên 1 khoảng nhỏ.

1. Tìm tập giá trị của hàm: [TEX]y=sinx+2[/TEX] trên R

Với bài toán tìm tập giá trị, khi mới làm thì ta làm tường minh từng bước:

$$-1\leq sinx\leq 1$$

Cộng thêm 2 vào các vế : $$1\leq sinx+2\leq 3<=>1\leq y\leq 3$$

=> Tập giá trị của hàm y là [1;3]

2. Tìm tập giá trị của hàm: $$y=\sqrt{(sinx+1)^3}$$ trên R

Vẫn là từng bước như câu 1, ta có: $$0\leq sinx+1\leq 2<=>0\leq (sinx+1)^3\leq 8$$

Khai căn 2 vế thì ta được: $$0\leq y\leq 2\sqrt{2}$$

Vậy tập giá trị của hàm y là: $$[0;2\sqrt{2}]$$

3. Tìm tập giá trị của hàm: $$y=sin(2x+\frac{\pi }{4})$$ trên đoạn $$[0;\frac{\pi }{8}]$$

Với bài này ta cần xác định xem góc pha của hàm sin chạy trong đoạn nào.
Ta có: $$0\leq x\leq \frac{\pi }{8}<=>0\leq 2x\leq \frac{\pi }{4}<=>\frac{\pi }{4}\leq 2x+\frac{\pi }{4}\leq \frac{\pi }{2}$$

Như vậy, xét trong đoạn: $$[\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}]$$

Giá trị của hàm số sin nằm trong đoạn: $$[\frac{1}{\sqrt{2}};1]$$

Vậy tập giá trị của hàm y là [TEX][\frac{1}{\sqrt{2}};1][/TEX]

4. Tìm tập giá trị của hàm: $$y=sinx+cosx$$ trên R.

Với bài có các hàm lượng giác khác nhau, cần chú ý: nếu ta làm:

$$-1\leq sinx\leq 1;-1\leq cosx\leq 1$$

Thực hiện cộng vế với vế: $$-2\leq sinx+cosx\leq 2$$ thì lời giải là sai. Bởi vì sinx và cosx là 2 hàm lượng giác khác nhau. Nói dễ hiểu, dấu "=" xảy ra khi [TEX]sinx=cosx=-1[/TEX]. Mà điều này không thể xảy ra.

Nên nhìn chung với dạng bài xuất hiện các hàm lượng giác khác nhau, ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác đã học, để đưa bài toán về tìm tập xác định của 1 hàm lượng giác duy nhất. Cụ thể với bài này:
$$y=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi }{4})=>-\sqrt{2}\leq y\leq \sqrt{2}$$

Vậy tập giá trị của hàm y là: $$[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$$

5. Tìm tập giá trị của hàm số: [TEX]y=2sin^2x+3sin2x-4cos^2x[/TEX]

Ta có: $$y=2-2cos^2x+3sin2x-4cos^2x=3sin2x-3cos2x-1=3\sqrt{2}sin(2x-\frac{\pi }{4})-1$$

=> $$-3\sqrt{2}-1\leq y\leq 3\sqrt{2}-1$$