Toán 10 Tìm tập giá trị của biểu thức

[thomnguyen1961]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho 2 số thực x, y thỏa mãn [tex]x^{2}+y^{2}=x+y+xy[/tex]. Tập giá trị của biểu thức S=x+y là?
A. [0;+[tex]\infty[/tex])
B. [-[tex]\infty[/tex];0]
C. [4;+[tex]\infty[/tex])
D. [0;4]
2/ Cho 2 số thực dương thỏa x+y=1. Giá trị nhỏ nhất của S= [tex]\frac{1}{x}+\frac{4}{y}[/tex] là?
3/ Cho 2 số thực a,b thuộc khoảng (0;1) và thỏa [tex](a^{3}+b^{3})(a+b)-ab(a-1)(b-1)=0[/tex]. GTLN của P=ab là?
Giúp mình với, hic nếu được thì hướng dẫn mình cách giải những dạng này nha, cảm ơn ^^
@Tiến Phùng, @Aki-chan anh ơi giúp em T_T

 

[Sweetdream2202]

1.[tex]<=>x+y=x^2+y^2-xy\geq \frac{(x+y)^2}{2}-\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(x+y)^2}{4}=>(x+y)^2-4(x+y)\leq 0<=>0\leq x+y\leq 4[/tex]
2. áp dụng bđt cauchuy schuwars dạng phân thức, ta có: [tex]S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\geq \frac{(1+2)^2}{x+y}=9[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{1}{x}=\frac{4}{y}[/tex]
3. [tex](a^3+b^3)(a+b)=(a+b)^2(a^2-ab+b^2)\geq 4ab((a+b)^2-3ab)=>ab(-a-b+ab+1)\geq 4ab((a+b)^2-3ab)=>4(a+b)^2-13ab+(a+b)-1\leq 0<=>4(a+b)^2-\frac{13(a+b)^2}{4}+(a+b)-1\leq 0<=>\frac{3}{4}(a+b)^2+(a+b)-1\leq 0<=>-2\leq a+b\leq \frac{2}{3} =>P=ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{1}{9}[/tex]

 

[thomnguyen1961]

1.[tex]<=>x+y=x^2+y^2-xy\geq \frac{(x+y)^2}{2}-\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(x+y)^2}{4}=>(x+y)^2-4(x+y)\leq 0<=>0\leq x+y\leq 4[/tex]
2. áp dụng bđt cauchuy schuwars dạng phân thức, ta có: [tex]S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\geq \frac{(1+2)^2}{x+y}=9[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{1}{x}=\frac{4}{y}[/tex]
3. [tex](a^3+b^3)(a+b)=(a+b)^2(a^2-ab+b^2)\geq 4ab((a+b)^2-3ab)=>ab(-a-b+ab+1)\geq 4ab((a+b)^2-3ab)=>4(a+b)^2-13ab+(a+b)-1\leq 0<=>4(a+b)^2-\frac{13(a+b)^2}{4}+(a+b)-1\leq 0<=>\frac{3}{4}(a+b)^2+(a+b)-1\leq 0<=>-2\leq a+b\leq \frac{2}{3} =>P=ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{1}{9}[/tex]

bài 1 là áp dụng công thức nào vậy ạ?

 

[Sweetdream2202]

bài 1 là áp dụng công thức nào vậy ạ?

[tex]x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}[/tex] và [tex]xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}[/tex] đó bạn. còn cái sau là bpt bậc 2

 

[thomnguyen1961]

[tex]x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}[/tex] và [tex]xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}[/tex] đó bạn. còn cái sau là bpt bậc 2

....nhưng mà làm sao có đc cái đó vậy ạ, mà 1 cái là [tex]\geq[/tex], 1 cái là [tex]\leq[/tex], trừ nhau vẫn ra [tex]\geq[/tex] ạ?

 

[Sweetdream2202]

....nhưng mà làm sao có đc cái đó vậy ạ, mà 1 cái là [tex]\geq[/tex], 1 cái là [tex]\leq[/tex], trừ nhau vẫn ra [tex]\geq[/tex] ạ?

[tex]xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}<=>-xy\geq- \frac{(x+y)^2}{4}[/tex]
giờ cộng lại là đc rồi bạn :3

 

[thomnguyen1961]

[tex]x^2+y^2\geq\frac{(x+y)^2}{2}[/tex] và [tex]xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}[/tex] đó bạn. còn cái sau là bpt bậc 2

nhưng mà 2 cái bất pt trên là áp dụng công thức nào mới ra đc ạ T_T

 

[Sweetdream2202]

nhưng mà 2 cái bất pt trên là áp dụng công thức nào mới ra đc ạ T_T

cái đó là bdt cơ bản đc chứng minh tương đương thôi bạn, xuất phát từ (x-y)^2>=0. còn ở đây k gọi là dùng cosi đc vì x, y chưa dương.

 

[thomnguyen1961]

cái đó là bdt cơ bản đc chứng minh tương đương thôi bạn, xuất phát từ (x-y)^2>=0. còn ở đây k gọi là dùng cosi đc vì x, y chưa dương.

khó hiểu quá, hic, ....anh có thể giảng lại cách làm các bài đó đc ko ạ, em dốt toán lắm T_T

 

[Sweetdream2202]

khó hiểu quá, hic, ....anh có thể giảng lại cách làm các bài đó đc ko ạ, em dốt toán lắm T_T

[tex]\frac{(x+y)^2}{4}\geq xy<=>(x+y)^2\geq 4xy<=>x^2+2xy+y^2\geq 4x<=>x^2-2xy+x^2\geq 0<=>(x-y)^2\geq 0[/tex]
cái cuối luôn đúng nên hiển nhiên cái đầu cũng luôn đúng.

 

[thomnguyen1961]

[tex]\frac{(x+y)^2}{4}\geq xy<=>(x+y)^2\geq 4xy<=>x^2+2xy+y^2\geq 4x<=>x^2-2xy+x^2\geq 0<=>(x-y)^2\geq 0[/tex]
cái cuối luôn đúng nên hiển nhiên cái đầu cũng luôn đúng.

dạ cái này hiểu rồi ạ nhưng cho em hỏi sao để biết đc bđt vừa CM <=> [tex]0\leq x+y\leq 4[/tex] dù là thế vào đúng nhưng làm sao mk biết mà suy ra ạ
Còn câu 3

1.[tex]<=>x+y=x^2+y^2-xy\geq \frac{(x+y)^2}{2}-\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(x+y)^2}{4}=>(x+y)^2-4(x+y)\leq 0<=>0\leq x+y\leq 4[/tex]
2. áp dụng bđt cauchuy schuwars dạng phân thức, ta có: [tex]S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\geq \frac{(1+2)^2}{x+y}=9[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{1}{x}=\frac{4}{y}[/tex]
3. [tex](a^3+b^3)(a+b)=(a+b)^2(a^2-ab+b^2)\geq 4ab((a+b)^2-3ab)=>ab(-a-b+ab+1)\geq 4ab((a+b)^2-3ab)=>4(a+b)^2-13ab+(a+b)-1\leq 0<=>4(a+b)^2-\frac{13(a+b)^2}{4}+(a+b)-1\leq 0<=>\frac{3}{4}(a+b)^2+(a+b)-1\leq 0<=>-2\leq a+b\leq \frac{2}{3} =>P=ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{1}{9}[/tex]

(a+b)^2(a^2-ab+b^2)\geq 4ab((a+b)^2-3ab) trở về sau em chưa hiểu ạ. Em xin lỗi vì đã làm phiền anh nhiều nhưng mong anh có thể giải đáp giúp em, em cảm ơn rất nhiều ạ T_T

 

[Sweetdream2202]

dạ cái này hiểu rồi ạ nhưng cho em hỏi sao để biết đc bđt vừa CM <=> [tex]0\leq x+y\leq 4[/tex] dù là thế vào đúng nhưng làm sao mk biết mà suy ra ạ
Còn câu 3

(a+b)^2(a^2-ab+b^2)\geq 4ab((a+b)^2-3ab) trở về sau em chưa hiểu ạ. Em xin lỗi vì đã làm phiền anh nhiều nhưng mong anh có thể giải đáp giúp em, em cảm ơn rất nhiều ạ T_T

chỗ sau đó bạn chia 2 vế cho ab đi, rồi đưa hết về 1 vế. còn -13ab làm như -xy câu 1 ý.

 

[thomnguyen1961]

1.[tex]<=>x+y=x^2+y^2-xy\geq \frac{(x+y)^2}{2}-\frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(x+y)^2}{4}=>(x+y)^2-4(x+y)\leq 0<=>0\leq x+y\leq 4[/tex]
2. áp dụng bđt cauchuy schuwars dạng phân thức, ta có: [tex]S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\geq \frac{(1+2)^2}{x+y}=9[/tex]
dấu bằng xảy ra khi [tex]\frac{1}{x}=\frac{4}{y}[/tex]
3. [tex](a^3+b^3)(a+b)=(a+b)^2(a^2-ab+b^2)\geq 4ab((a+b)^2-3ab)=>ab(-a-b+ab+1)\geq 4ab((a+b)^2-3ab)=>4(a+b)^2-13ab+(a+b)-1\leq 0<=>4(a+b)^2-\frac{13(a+b)^2}{4}+(a+b)-1\leq 0<=>\frac{3}{4}(a+b)^2+(a+b)-1\leq 0<=>-2\leq a+b\leq \frac{2}{3} =>P=ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\leq \frac{1}{9}[/tex]

ab(-a-b+ab+1)\geq 4ab((a+b)^2-3ab) chỗ này cơ ạ sao ra đc cái này ạ mà còn sau khi CM đc
[QUOTE="thomnguyen1961, post: 3672922, member: 2560251" <=> 0≤x+y≤40≤x+y≤40\leq x+y\leq 4 dù là thế vào đúng nhưng làm sao mk biết mà suy ra ạ[/QUOTE]

 

[Sweetdream2202]

theo cosi thì [tex]a+b\geq 2\sqrt{ab}=>(a+b)^2\geq 4ab=>ab(-a-b+ab+1)=(a+b)^2(a^2-ab+b^2)\geq 4ab(a^2-ab+b^2)[/tex]
cái đó là cái cơ bản ý bạn, có những bđt cơ bản đc chứng minh tương đương mà bạn cần phải nhớ. ở đó mình đang xem ẩn là x+y nên mình phải đưa xy về x+y.