Hiển nhiên $2+2\sqrt{1+12n^{2}}$ là số nguyên nên tồn tại $k$ mà $1+12n^{2}=(2k+1)^{2}$ nên ta có $k(k+1)=3n^{2}$
Do $(k,k+1)=1$ nên xảy ra hai trường hợp :
$1$ ) là $k=a^{2},k+1=3b^{2}$ thế thì $a^{2}-3b^{2}=-1\equiv 2(mod3)$ vô lý
Nên xảy ra thì phải $k=3a^{2},k+1=b^{2}$
Do đó thay ngược lại $3n^{2}=b^{2}(b^{2}-1)$ nên $\sqrt{1+12n^{2}}=2b^{2}-1$ , vậy số ban đầu là $(2b)^{2}$ hiển nhiên là số chính phương