Tìm số tự nhiên

[dongu87]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Số các số tự nhiên n lớn hơn 10 và nhỏ hơn 1000 thỏa mãn (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau

 

[friendoftheworld]

Giả sử
(7n+2,2n+1) =k với k# 3
=> (7n+2, 3(2n+1)) =k (do k #3)
=> [7n+2 -3(2n+1), 2n+1] =k
=> (n-1, 2n+1) =k (*)
Mặt khác k lẻ do 2n +1 lẻ
Từ (*) => (2n+1, 2n-2) =k
=> [2n+ 1, (2n+1) -(2n-2)] =k
=> (2n+1,3) =k
do k # 3 => k=1
Từ đó suy ra với giá trị nào đó của n thì 2 số đã cho chỉ có ước chung duy nhất là k =3, còn lại là nguyên tố cùng nhau
Ta thấy nếu n có dạng n=3k +1 thì 2n+1 và 7n+2 có ước chung là k =3
=> n=3k và n=3k+2 thì 2 số đã cho nguyên tố cùng nhau
Từ 11 -> 999 có 989 số, trong đó có 329 số chia cho 3 dư 1 (do ko tính số 10 theo đề bài)
Như vậy còn lại 989 -329 = 660 số n để (2n+1) và (7n+2) nguyên tố cùng nhau

 

[duc_2605]

(2n+1) và (7n+2)
n chẵn thì 2n + 1 lẻ ; 7n + 2 chẵn
n lẻ thì 2n + 1 lẻ ; 7n + 2 lẻ
2 cái đó cùng chia hết cho 1 và dó là ƯCLN
Để như vậy thì phải có 1 lẻ 1 chẵn
\Rightarrow TH 1 thỏa mãn
\Rightarrow n chẵn
Khi đó có rất nhiều TH.
VD : (n = 0; n = 2 ; n =4 ..........)
Vậy n chẵn thỏa mãn

 

[eye_smile]

Gọi $d$ là UCLN của $7n+2$ và $2n+1$
+/$7n+2$ chia hết cho $d$
Suy ra $2(7n+2)=14n+4$ chia hết cho $d$
+/$2n+1$ chia hết cho $d$
Suy ra $7(2n+1)=14n+7$ chia hết cho $d$
Suy ra $14n+7-14n-4=3$ chia hết cho $d$
Để $7n+2$ và $2n+1$ nguyên tố cùng nhau thì $d=1$
Suy ra: *$7n+2=6n+3+n-1$ không chia hết cho $3$
\Rightarrow $n-1$ không chia hết cho $3$
\Rightarrow $n$ chia 3 không dư $1$
*$2n+1=3n-n+1$ không chia hết cho $3$
\Rightarrow $1-n$ không chia hết cho $3$
\Rightarrow $n$ chia 3 không dư $1$
Tóm lại $n$ chia 3 dư 2 hoặc 0
Số các stn lớn hơn 10, nhỏ hơn 1000: 989 số
Số các số nằm trong khoảng trên chia 3 dư 1 là: 329 số
\Rightarrow Số các số $n$ thoả mãn là: 660 số