Tìm số nguyên tố

[hpthao_99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn:
[TEX]x^2 - 2y^2 = 1[/TEX]

 

[hiensau99]

Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn:
[TEX]x^2 - 2y^2 = 1[/TEX]

Ta có $x^2- 2y^2 = 1 \to x^2 -1 = 2y^2$ (*)

+ Nếu x chia hết cho 3 thì x=3 (vì x là số nguyên tố). Thay vào (*) ta có

$3^2 -1 = 2y^2 = 8 \to y^2 = 4 \to y=2$

+ Nếu x không chia hết cho 3 thì x có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k $\in$ N)

Với x=3k+1 thì $ 2y^2= x^2 -1 = (x-1)(x+1)= (3k+1-1)(3k+1+1) = 3k(3k+2) \vdots 3$

Với x= 3k+2 thì $2y^2= x^2 -1 = (x-1)(x+1)= (3k+2-1)(3k+2+1) = (3k+1)(3k+3)= 3(3k+1)(k+1) \vdots 3$

Như vậy với mọi x không chia hết cho 3 thì $x^2 -1 \vdots 3 \to 2y^2 \vdots 3 $. Mà (2;3)= 1

Nên $y^ 2 \vdots 3$. Do 3 là số nguyên tố nên $y \vdots 3$. Mà y là số nguyên tố nên y=3

Thay y=3 vào (*) ta có:

$ x^2 -1 = 2.3^2=18 \to x^2 = 19 \to x= \sqrt{19}$ (không tm)


Vậy chỉ có 1 cặp số (x;y) thỏa mãn là x=3; y=2

 

[12ab3csy]

Dễ thấy x>y => x lẻ (vì 2 là số nguyên tố nhỏ nhất là cũng số số nguyên tố chẵn duy nhất)
[TEX]x^2-2y^2=1 \Leftrightarrow x^2-1=2y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=2y^2 [/TEX]
Rõ ràng (x+1)(x-1) chia hết cho 4 vì x+1 và x-1 đều chia hết cho 2 vì x lẻ
=> 2y^2 cũng chia hết cho 4 => y^2 chia hết cho 2 => y chia hết cho 2 , vì y nguyên tố nên y=2
[TEX]x^2-8=1 \Leftrightarrow x=3[/TEX]
Vậy x=3, y=2
Nếu thấy hay thì nhấn giúp mik nút "đúng" nha, hjhj, khó quá, mik cố gắng qua nay mak hok được điểm nào cả, [-O<[-O<

>->- Nhấn đúng và cảm ơn nếu cảm thấy hài lòng các bạn nhé!!!