Bài 23:a) Tìm số nguyên dương x, n và số nguyên tố p sao cho:
x^3 + 2x = 3(p^n - 1)
tukinhlaphongPhương trình biến đổi thành:
[imath](x+1)(x^2 -x+3) = 3p^n[/imath]
Có [imath]x+1,x^2-x+3 \geq 2[/imath]
Đặt [imath]d=(x+1,x^2-x+3)[/imath] với [imath]d\in \mathbb{N}^*[/imath]
[imath]\Rightarrow x+1 \vdots d, x^2-x+3 \vdots d \Rightarrow x^2 -x -2 \vdots d[/imath]
[imath]\Rightarrow 5 \vdots d \Rightarrow d\in \{1;5\}[/imath]
TH1 : [imath]d=1 \Rightarrow x+1 =3 ; x^2-x+3=p^n[/imath] hoặc [imath]x^2-x+3=3; x+1=p^n[/imath] với [imath]p\ne 3[/imath]
[imath]\Rightarrow x=2 ; p=5 ; n=1[/imath] hoặc [imath]x=1; p=2; n=1[/imath]
TH2: [imath]d=5 \Rightarrow p=5; n\geq 2[/imath]
+) [imath]x+1 = 5; x^2-x+3 = 3.5^{n-1} \Rightarrow x=4;n=2[/imath]
+) [imath]x+1=15; x^2 -x+3 = 5^{n-1} \Rightarrow[/imath] vô nghiệm
+) [imath]x^2-x+3 = 5 ;x+1 = 3.5^{n-1} \Rightarrow[/imath] vô nghiệm
+) [imath]x^2-x+3=15;x+1=5^{n-1} \Rightarrow x=4 ; n=2[/imath]
Vậy [imath](n;x;p) \in \{(1;2;5);(1;1;2);(2;4;5)\}[/imath]
Ngoài ra mời em tham khảo:
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
