WindeeeKhi đó, phân tích được [imath]n^3+n^2+n+1 = (n+1)(n^2+1)[/imath]
Nên [imath]n+1 =2^a.5^b; n^2+1=2^c.5^d \Rightarrow (2^a.5^b)(2^a.5^b-2) = 2^c.5 ^d-2 ;( a+c,b+ d \leq n)[/imath]
*Nếu [imath]a=0 \Rightarrow c = 0 \Rightarrow 5^b ( 5^b-2) = 5^d -2[/imath]
Dễ có [imath]5^d-2[/imath] không chia hết cho 5 nên [imath]b=0 \Rightarrow n= 0[/imath] (loại)
*Nếu [imath]a \geq 1 \Rightarrow 2^a.5^b(2^{a-1}.5^b-1) = 2^{c-1}.5^d -1 (c\geq 1)[/imath]
Dễ thấy vế trái luôn chẵn nên vế phải cũng chẵn [imath]\rightarrow c=1 \Rightarrow 2^a.5^b(2^{a-1}.5^b-1) = 5^d -1[/imath]
Xét [imath]d= 0 \Rightarrow 2^{a-1}.5^b =1 \Rightarrow a-1= b = 0 \Rightarrow n =1[/imath] (loại vì [imath]a+c =2 > n=1[/imath] )
Xét [imath]d\geq 1 \rightarrow 5^d-1[/imath] không chia hết cho 5 nên [imath]b=0[/imath]
Phương trình trở thành: [imath]2^a . (2^{a-1} -1) = 5^d-1[/imath]
Chỗ này hơi bí rồi, mình có cách giải không được hay lắm, có gì anh
@Mộc Nhãn coi trợ giúp em với nhé
Xét [imath]v_2 (5^d-1) =2 + v_2(d)[/imath]
Vì [imath]5^d-1[/imath] chia hết cho [imath]2^a \Rightarrow 2+v_2(d) \geq a \Rightarrow v_2 (d) \geq a-2 \Rightarrow d = 2^{a-2}.k[/imath]
Xét [imath]a=1 \Rightarrow d=0 \Rightarrow n=1[/imath] (loại)
[imath]a=2 \Rightarrow d=1 \Rightarrow n=3[/imath] (thỏa mãn)
[imath]a=3 \Rightarrow d=2 \Rightarrow n=7[/imath] (thỏa mãn)
[imath]a=4[/imath], dễ thấy [imath]d \geq a \Rightarrow 5^d -1 > 4^a -1 =(2^a-1)(2^a+1) > 2^a (2^{a-1}-1)[/imath] (vô lý)
Vậy [imath]n\in \{ 3;7 \}[/imath]
Ngoài ra bạn tham khảo thêm tại https://diendan.hocmai.vn/threads/ly-thuyet-chuyen-de-hsg-so-hoc.839477/
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
