Toán 11 Tìm số hạng tổng quát và sum

[Thảo_UwU]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy $(u_n)$ được xác định bởi $\large{\begin{cases} u_1 = 0\\u_n = \dfrac{u_{n-1}+7}{-u_{n-1}+9} \end{cases}}$

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy $\large{u_n}$

b) Đặt $\large{v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{u_k - 7}}$

Tính $lim \dfrac{v_n}{n+9}$

 

[Thảo_UwU]

a)Từ hệ thức truy hồi ta có:

$u_n = \dfrac{u_{n-1}+7}{-u_{n-1} + 9}$

$\rightarrow u_n - 1 = \dfrac{u_{n-1}+7}{-u_{n-1} + 9}-1$

$\rightarrow u_n - 1 = \dfrac{2u_{n-1}-2}{-u_{n-1} + 9}$

$\rightarrow u_n - 1 = \dfrac{2(u_{n-1}-1)}{-u_{n-1} + 9}$

$\rightarrow \dfrac{1}{u_n - 1} = \dfrac{-(u_{n-1}-1) + 8}{2(u_{n-1}-1)}$

$\rightarrow \dfrac{1}{u_n - 1} = \dfrac{4}{u_{n-1}-1} - \dfrac{1}{2}$

Đặt $v_n = \dfrac{1}{u_n-1}$ khi đó ta được:

$v_n = 4v_{n-1} - \dfrac{1}{2}$

$\rightarrow v_n - \dfrac{1}{6} = 4(v_{n-1} - \dfrac{1}{6})$

Đặt $x_n = v_n - \dfrac{1}{6}$ ta được:

$x_n = 4x_{n-1} = 4^2 x^{n-2} = ... = 4^{n-1} . x_1$

Mà $x_1 = v_1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{u_1 - 1} - \dfrac{1}{6} = -\dfrac{7}{6}$

$\rightarrow x_n = -\dfrac{7.4^{n-1}}{6}$

$\rightarrow v_n = \dfrac{-7.4^{n-1}+1}{6}$

$\rightarrow u_n - 1= \dfrac{6}{-7.4^{n-1}+1}$

$\rightarrow u_n = \dfrac{6}{-7.4^{n-1}+1} + 1$

@chi254 Em lm như này đúng chx ạ
Chị giúp e ý b vs ạ

 

[Alice_www]

Ở khúc này em làm lộn r nè

$v_n-\dfrac{1}6=4(v_{n-1}-\dfrac{1}6)$ mới đúng chứ nhỉ

Câu b thì em thay số hạng tổng quát vừa tìm được là tính dc $v_n$

 

[Thảo_UwU]

View attachment 222528
Ở khúc này em làm lộn r nè

$v_n-\dfrac{1}6=4(v_{n-1}-\dfrac{1}6)$ mới đúng chứ nhỉ

Câu b thì em thay số hạng tổng quát vừa tìm được là tính dc $v_n$

Alice_wwwThay vào ta được

$\large{v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{6.7.4^{k-1}}-\dfrac{1}{6}}$ rồi mình làm như nào v ạ

 

[Alice_www]

Thay vào ta được

$\large{v_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{6.7.4^{k-1}}-\dfrac{1}{6}}$ rồi mình làm như nào v ạ

Thảo_UwU$\dfrac{1}{4^0}+\dfrac{1}{4^1}+\cdots+\dfrac{1}{4^{n-1}}=\dfrac{\frac{1}{4^n}-1}{\frac{1}4-1}=\dfrac{4}3(1-\dfrac{1}{4^n})$

$v_n=\dfrac{2}{63}(1-\dfrac{1}{4^n})-\dfrac{n}6$

$\lim \dfrac{v_n}{n+9}=\dfrac{-1}6$
. . . . .

 

[Thảo_UwU]

$\dfrac{1}{4^0}+\dfrac{1}{4^1}+\cdots+\dfrac{1}{4^{n-1}}=\dfrac{\frac{1}{4^n}-1}{\frac{1}4-1}=\dfrac{4}3(1-\dfrac{1}{4^n})$

$v_n=\dfrac{2}{63}(1-\dfrac{1}{4^n})-\dfrac{n}6$

$\lim \dfrac{v_n}{n+9}=\dfrac{-1}6$
. . . . .

Alice_www$\dfrac{1}{4}$ ở đâu v chị =)

 

[chi254]

$\dfrac{1}{4}$ ở đâu v chị =)

Thảo_UwUChỗ $v_n$ em tách thành 2 tổng nhé
Phần trước em đặt $\dfrac{1}{6.7}$ chung thì còn lại tổng csn lùi vô hạn với $u_1 = \dfrac{1}{4}$ nha