Tìm phần nguyên của số

[linhlove313]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm phần nguyên của số sau
S = [TEX]\sqrt{2}+ \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + \sqrt[4]{\frac{4}{3}} +\sqrt[5]{\frac{5}{4}} + .... + \sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}}[/TEX]

 

[linhlove313]

Ta có S > 2012 (1)
Áp dụng bdt caughy cho n+1 số không âm gồm [TEX]\frac{n+1}{n}[/TEX] và n số 1 ta có
[TEX]\sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}} = \sqrt[n+1]{\frac{n+1}{n}.1.1.1...1} \leq \frac{\frac{n+1}{n}+n}{n+1} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}[/TEX]
[TEX]S(n) \leq n + 1 - \frac{1}{n+1}[/TEX]
với n = 2012 ta có S(2012) [TEX]\leq 2012 +1 - \frac{1}{2013}[/TEX]
hay S <2013 (2)
Từ (1), (2) ta có phần nguyên = 2012