Tìm nghiệm nguyên của phương trình: [imath]y^2=1+x+x^2+x^3+x^4[/imath]
Nguyễn Chi XuyênBài này dùng phương pháp chặn 1 số chính phương giữa các số chính phương liên tiếp hoặc có khoảng cách nhỏ.
Trước hết ta có:
[imath](2y)^2 = (2x^2+x)^2 + 3x^2 +4x+4[/imath] (1)
Ta có: [imath]3x^2+4x+4 >0[/imath] nên [imath](2y)^2 > (2x^2+x)^2[/imath] (2)
Lại có: [imath]3x^2 +4x+4 \leq 4(2x^2+x) +4 \Rightarrow (2y)^2 \leq (2x^2+x+2)^2[/imath](3)
Từ (2),(3) [imath]\Rightarrow (2y)^2 \in \{ (2x^2+x+1)^2 ; (2x^2+x+2)^2 \}[/imath]
TH1: [imath](2y)^2 =(2x^2+x+2)^2[/imath]
Đây chính là dấu = của bpt (3), xảy ra khi [imath]x=0; y = \pm 1[/imath]
TH2: [imath](2y)^2 =(2x^2+x+1)^2 \Rightarrow 3x^2 +4x+4 = 2(2x^2+x) +1 \Rightarrow x^2 -2x -3 =0 \Rightarrow x=-1;y=\pm 1[/imath] hoặc [imath]x=3 ; y=\pm 11[/imath]
Ngoài ra mời em tham khảo tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
