Nhận thấy nếu cặp [imath](x,y)[/imath] thỏa mãn thì [imath](-x,-y)[/imath] cũng thỏa mãn nên không mất tính tổng quát, xét [imath]x>0[/imath]
[imath]y^2(x^2-7)=(x+y)^2[/imath]
Đặt [imath](x,y)=d,x=dx',y=dy'(x',y' \in \mathbb{Z},(x',y')=1,d>0)[/imath].
Ta có [imath]d^2y'^2(d^2x'^2-7)=(dx'+dy')^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow y'^2(d^2x'^2-7)=(x'+y')^2[/imath]
Vì [imath](x',y')=1 \Rightarrow (x'+y',y')=1[/imath]
Mà [imath](x'+y'))^2 \vdots y'^2 \Rightarrow y'^2=1 \Rightarrow y'=\pm 1[/imath]
+ [imath]y'=1 \Rightarrow d^2x'^2-7=(x'+1)^2[/imath]
[imath]\Leftrightarrow d^2x'^2-7=x'^2+2x'+1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x'(d^2x'-x'-2)=8[/imath]
[imath]\Rightarrow 8 \vdots x'[/imath]
[imath]\Rightarrow x' \in \lbrace{ 1,2,4,8 \rbrace}[/imath]
* Nếu [imath]x'=1 \Rightarrow d^2-3=8 \Rightarrow d^2=11[/imath](loại)
* Nếu [imath]x'=2 \Rightarrow 2d^2-4=4 \Rightarrow d^2=4 \Rightarrow d=2 \Rightarrow (x,y)=(4,2)[/imath]
* Nếu [imath]x'=4 \Rightarrow 4d^2-6=2 \Rightarrow d^2=2[/imath](loại)
* Nếu [imath]x'=8 \Rightarrow 8d^2-10=1 \Rightarrow d^2=\dfrac{11}{8}[/imath](loại)
+ [imath]y'=-1 \Rightarrow d^2x'^2-7=(x'-1)^2=x'^2-2x'+1[/imath]
[imath]\Rightarrow x'(d^2x'-x'+2)=8[/imath]
[imath]\Rightarrow 8 \vdots x'[/imath]
[imath]\Rightarrow x' \in \lbrace{ 1,2,4,8 \rbrace}[/imath]
* Nếu [imath]x'=1 \Rightarrow d^2+1=8 \Rightarrow d^2=7[/imath](loại)
* Nếu [imath]x'=2 \Rightarrow 2d^2=4 \Rightarrow d^2=2[/imath](loại)
* Nếu [imath]x'=4 \Rightarrow 4d^2-2=2 \Rightarrow d^2=1 \Rightarrow d=1 \Rightarrow (x,y)=(4,-1)[/imath]
* Nếu [imath]x'=8 \Rightarrow 8d^2-6=1 \Rightarrow d^2=\dfrac{7}{8}[/imath](loại)
Vậy tất cả các cặp [imath](x,y)[/imath] thỏa mãn đề bài là [imath](4,2),(-4,-2),(4,-1),(-4,1)[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Chuyên đề toán 8 cả năm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
