Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau
[imath]5(x+y+z+t)+10=2xyzt[/imath]
Nguyễn Chi XuyênChia 2 vế phương trình cho xyzt ta có:
[imath]\dfrac{5}{xyz} + \dfrac{5}{yzt} + \dfrac{5}{ztx} + \dfrac{5}{txy} + \dfrac{10}{xyzt} =2[/imath]
Vì vai trò như nhau, giả sử [imath]x \geq y \geq z\geq t[/imath]
[imath]\Rightarrow 2 \leq \dfrac{20}{t^3} + \dfrac{10}{t^4}[/imath]
Nếu [imath]x\geq 3 \Rightarrow\dfrac{20}{t^3} + \dfrac{10}{t^4} \leq \dfrac{70}{81}[/imath] (loại)
TH1: [imath]t=2[/imath]
Thay vào biểu thức được: [imath]\dfrac{5}{xyz} + \dfrac{5}{2yz} + \dfrac{5}{2zx} + \dfrac{5}{2xy} + \dfrac{5}{xyz} =2[/imath]
Đánh giá tiếp ta được: [imath]2 \leq \dfrac{10}{z^3} + \dfrac{15}{2z^2}[/imath]
Nếu [imath]z\geq 3 \Rightarrow \dfrac{10}{z^3} + \dfrac{15}{2z^2} \leq \dfrac{65}{54} < 2[/imath] (loại)
Mà [imath]z \geq t =2[/imath]
Nên [imath]z=2 \Rightarrow 5 (x+y+4) + 10 = 8xy \Rightarrow 8xy -5x-5y -30 =0[/imath]
[imath]\Rightarrow 8x(8y-5) - 40x-240 = 0 \Rightarrow (8x-5)(8y-5) = 265 =5.53[/imath]
Trường hợp này ra vô nghiệm nhé, thử xét ra đi
TH2: [imath]t=1[/imath]
Thay vào biểu thức ta có: [imath]\dfrac{15}{xyz} + \dfrac{5}{yz} + \dfrac{5}{xz} + \dfrac{5}{xy} =2[/imath]
Suy ra [imath]2 \leq \dfrac{15}{z^3} + \dfrac{15}{z^2}[/imath]
Nếu [imath]z \geq 4 \Rightarrow \dfrac{15}{z^3} + \dfrac{15}{z^2} \leq \dfrac{75}{64} < 2[/imath]
+ [imath]z=1 \Rightarrow 5(x+y+2) + 10 =2xy \Rightarrow (2x-5)(2y-5) = 65 = 5.13[/imath]
Trường hợp này xét ra có 2 bộ nghiệm [imath](x;y) \in \{ (35;3) ; (9;5) \}[/imath] (do [imath]x\geq y[/imath] )
+ [imath]z=2 \Rightarrow 5(x+y+3) + 10 = 4xy \Rightarrow (4x-5)(4y-5)=125[/imath] (vô nghiệm nguyên)
+ [imath]z=3 \Rightarrow 5(x+y+4) + 10 = 6xy \Rightarrow (6x-5)(6y-5) = 205 = 5.41[/imath]
Trường hợp này ra [imath](x,y) = (35,1)[/imath] (loại vì [imath]x,y \geq 3[/imath] )
Vậy phương trình có bộ nghiệm [imath](35;3;1;1) ; (9;5;1;1)[/imath] và hoán vị của chúng.
Ngoài ra, em tham khảo thêm tại topic [Lý thuyết] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
