Đặt [TEX]x=p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_n^{\alpha _n} \Rightarrow \varphi(x^k)=x^k(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_n})=x^k(1-\frac{1}{p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_n^{\alpha _n}})[/TEX]
Từ đó [TEX]1-\frac{1}{p_1^{\alpha _1}.p_2^{\alpha _2}...p_n^{\alpha _n}}=(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_n}) \Rightarrow p_1p_2...p_n-\frac{1}{p_1^{\alpha _1-1}.p_2^{\alpha _2-1}...p_n^{\alpha _n-1}}=(p_1-1)(p_2-1)...(p_n-1)[/TEX]
Nhận thấy VP nguyên nên VT phải nguyên, tức là [TEX]\alpha _1=\alpha _2=...= \alpha _n=1[/TEX]
Lại có: [TEX]p_1p_2...p_n-1=(p_1-1)(p_2-1)...(p_n-1)[/TEX]
Nhân bung ra ta thấy [TEX]VT>VP \forall n \geq 2 \Rightarrow n=1 \Rightarrow x[/TEX] là số nguyên tố thỏa mãn đề bài.
Nếu có thắc mắc gì thì bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
