Hái lộc đầu xuân
1,
$x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0$
+ Nếu n chẵn (loại)
+ Nếu n lẻ:
$n=1$ (thỏa mãn)
$n >1$ (loại), thật vậy:
+ nếu $x >0$ thì $x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0$ mà $(2+x)^n \ge (x-2)^n$ không có nghiệm nguyên
+ nếu $x <0$, đặt $x=-t$ với $t>0$ thì $(2+t)^n=t^n+(t-2)^n$
- nếu $t=2q+1$ thì VT lẻ; VP chẵn (loại)
- nếu $t=2q$ thì $(1+q)^n=q^n+(q-1)^n$ thì VT chia q dư 1; VP chia q dư -1 (loại)
2,
$2^n+12^2=z^2-9$ (1)
Nếu n lẻ thì $2^n≡−1 (mod 3)$
Từ (1) $\rightarrow z^2≡−1 (mod 3)$ (loại)
Nếu n chẵn thì $n=2m(m∈N)$ và phương trình (1) trở thành:
$z^2–2^{2m}=153$ hay $(z–2^m)(z+2^m)=153$.
Cho $z+2^m$ và $z–2^m$ là các ước của 153 ta tìm được $m=2,z=13$
$\rightarrow n=4,z=13$