Toán 8 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x+y+xy=1$

[Xia Hoa Tuyết]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 4: a. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x+y+xy=1$
b. Cho $\dfrac{x^4}a+\dfrac{y^4}b=\dfrac1{a+b}$ và $x^2+y^2=1$ thì $\dfrac{x^{2000}}{a^{1000}}+\dfrac{y^{2000}}{b^{1000}}=\dfrac2{(a+b)^{1000}}$

Bài 5:Chứng minh rằng: $A=\sqrt{4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+y^2z^2}$ có giá trị là số tự nhiên với mọi giá trị nguyên của $x;y;z$

Bài 6: Cho hình thang vuông $ABCD (\widehat{A}=\widehat{D}=90^{\circ})$ biết $AB=2cm;AD=\sqrt 3cm$ và $\widehat{B}=150^{\circ}$ thì $S_{ABCD}$ bằng:
A. $2\sqrt3\ cm^2$
B. $4\sqrt3\ cm^2$
C. $3\sqrt3\ cm^2$
D. $\sqrt3\ cm^2$

Bài 4: Cho tam giác $ABC$ và ba điểm $a';B';C'$ lần lượt nằm trên cạnh $BC;CA;AB$ sao cho $AA';BB';CC'$ đồng quy ($A';B';C'$ không trùng với các đỉnh của tam giác).
Chứng minh rằng: $\dfrac{A'B}{A'C'}\cdot\dfrac{B'C}{B'A}\cdot\dfrac{C'A}{C'B}=1$

Giúp em 4 bài sau đây với ạ. Em cảm ơn

 

[minhtan25102003]

Trước khi giải bài anh cũng xin nhắc nhẹ là em xem lại nội quy box toán nhé, đăng bài đúng chủ đề đúng vị trí giúp anh nha
Nhấp con dzịt này để hiểu kĩ hơn chỉnh lại cho đúng nè giờ anh giải cho em trước câu 5 đại số cho đúng chủ đề nhé.
Bài 5:
[tex]4x(x+y)(x+y+z)(x+z)=4.[x(x+y+z)].[(x+y)(x+z)]=4.(x^2+xy+xz).[(x^2 +xy + xz)+yz]= 4.(x^2+xy+xz)^2 + 4.(x^2+xy+xz).yz[/tex]

Thay vào biểu thức:

[tex]A=\sqrt{4.(x^2+xy+xz)^2 + 4.(x^2+xy+xz).yz + y^2z^2}=\sqrt{[2(x^2+xy+xz)]^2+2.2(x^2+xy+xz).yz+(yz)^2}[/tex]

[tex]=\sqrt{[2(x^2+xy+xz)+yz]^2}=\sqrt{(2x^2+2xy+2xz+yz)^2}=\left | 2x^2+2xy+2xz+yz \right |[/tex] là 1 số tự nhiên

(do với $x,y,z$ là số nguyên thì $2x^2+2xy+2xz+yz$ là 1 số nguyên)

Đọc xem hiểu không nhé em, có gì thắc mắc hỏi anh giải đáp cho nhé. Chúc em học tốt

 

[Xia Hoa Tuyết]

Trước khi giải bài anh cũng xin nhắc nhẹ là em xem lại nội quy box toán nhé, đăng bài đúng chủ đề đúng vị trí giúp anh nha
Nhấp con dzịt này để hiểu kĩ hơn chỉnh lại cho đúng nè giờ anh giải cho em trước câu 5 đại số cho đúng chủ đề nhé.
Bài 5:
[tex]4x(x+y)(x+y+z)(x+z)=4.[x(x+y+z)].[(x+y)(x+z)]=4.(x^2+xy+xz).[(x^2 +xy + xz)+yz]= 4.(x^2+xy+xz)^2 + 4.(x^2+xy+xz).yz[/tex]

Thay vào biểu thức:

[tex]A=\sqrt{4.(x^2+xy+xz)^2 + 4.(x^2+xy+xz).yz + y^2z^2}=\sqrt{[2(x^2+xy+xz)]^2+2.2(x^2+xy+xz).yz+(yz)^2}[/tex]

[tex]=\sqrt{[2(x^2+xy+xz)+yz]^2}=\sqrt{(2x^2+2xy+2xz+yz)^2}=\left | 2x^2+2xy+2xz+yz \right |[/tex] là 1 số tự nhiên

(do với $x,y,z$ là số nguyên thì $2x^2+2xy+2xz+yz$ là 1 số nguyên)

Đọc xem hiểu không nhé em, có gì thắc mắc hỏi anh giải đáp cho nhé. Chúc em học tốt

Dạ, bài 4 cũng liên quan đến đại số mà anh, bài 4 đầu tiên, 2 bài còn lại em sẽ đổi lại ạ. Mong anh thông cảm.
Em cảm ơn ạ

 

[minhtan25102003]

Dạ, bài 4 cũng liên quan đến đại số mà anh, bài 4 đầu tiên, 2 bài còn lại em sẽ đổi lại ạ. Mong anh thông cảm.
Em cảm ơn ạ

Thông cảm cho em lần này đó nhe, nhớ chỉnh lại 2 bài hình đăng trong phần hình học nha bé

Bài 4:
a. [tex]x+y+xy=1\Leftrightarrow x+y+xy+1=2\Leftrightarrow (x+xy)+(y+1)=2\Leftrightarrow x(y+1)+(y+1)=2\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=2[/tex]

Do $2=(-1).(-2)=1.2$ mà $x,y\in \mathbb{Z}^+ $ nên chỉ có 2 trường hợp:

TH1: [tex]\left\{\begin{matrix} x+1=1\\ y+1=2 \end{matrix}\right.\Rightarrow (x;y)=(0;1)[/tex]

TH2: [tex]\left\{\begin{matrix} x+1=2\\ y+1=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow (x;y)=(1;0)[/tex]

b. [tex]\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{(x^2+y^2)^2}{a+b}\Leftrightarrow \dfrac{bx^4+ay^4}{ab}=\dfrac{x^4+2x^2y^2+y^4}{a+b}[/tex][tex]\Leftrightarrow (bx^4+ay^4)(a+b)=ab(x^4+2x^2y^2+y^4)[/tex]

[tex]abx^4+b^2x^4+a^2y^4+aby^4=abx^4+2abx^2y^2+aby^4\Leftrightarrow (bx^2)^2-2.(bx^2).(ay^2)+(ay^2)^2=0\Leftrightarrow (bx^2-ay^2)^2=0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow bx^2=ay^2\Leftrightarrow \dfrac{x^2}{y^2}=\dfrac{a}{b}[/tex] [tex]\Rightarrow \dfrac{x^2}{x^2+y^2}=\dfrac{a}{a+b}\Rightarrow x^2=\dfrac{a}{a+b}[/tex] và [tex]y^2=\dfrac{b}{a+b}[/tex] (do $x^2+y^2=1$ )

Như vậy: [tex](x^2)^{1000}=x^{2000}=\left ( \dfrac{a}{a+b} \right )^{1000}=\dfrac{a^{1000}}{(a+b)^{1000}}\Rightarrow \dfrac{x^{2000}}{a^{1000}}=\dfrac{1}{(a+b)^{1000}}[/tex] và tương tự: $\dfrac{y^{2000}}{b^{1000}}=\dfrac{1}{(a+b)^{1000}}$
Cộng 2 đẳng thức lại ta được đpcm.

Em xem lời giải có chỗ nào thắc mắc thì hỏi anh để được giải đáp nhé