Bài 1:
Bình phương 2 vế ta được:
[tex]9x^2+16x+96=9x^2-6xy+y^2-114x+48y+576[/tex]
<=> [tex]y^2-6xy-160x+48y+480=0[/tex]
<=> [tex]y^2+y(48-6x)-160x+480=0[/tex]
Để phương trình có nghiệm nguyên thì [tex]\Delta =(48-6x)^2-4(-160x+480)=36x^2+64x+384[/tex] là số chính phương.
Đặt [tex]36x^2+64x+384=k^2[/tex]
<=> [tex](6x+\frac{16}{3})^2+\frac{3200}{9}=k^2[/tex]
<=> [tex](18x+16)^2+3200=9k^2[/tex]
<=> [TEX](18x+16-3k)(18x+16+3k) = -3200[/TEX]
Dễ thấy cả 2 tích đều chia 3 dư 1, từ đó giải phương trình ước số.
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
2+x+12+x+14−−−−−√−−−−−−−−−−−−−√=y
Bài 2:
[tex]2+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=y[/tex]
<=> [tex]2+\sqrt{x+\frac{1}{4}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{4}}=y[/tex]
<=> [tex]2+\sqrt{(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2})^2}=y[/tex]
<=> [tex]2+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=y[/tex]
<=> [tex]\sqrt{x+\frac{1}{4}}=y-\frac{5}{2}[/tex]
<=> [tex]x+\frac{1}{4}=y^2-5y+\frac{25}{4}[/tex]
<=> [tex]4x+1=4y^2-20y+25[/tex]
<=> [TEX]y^2-5y-x+6=0[/TEX]
<=> [TEX]x = (y-2)(y-3)[/TEX]
<=> ...
\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}[/tex]
[tex]\sqrt{x+2\sqrt{3}}=\sqrt{y}+\sqrt{z}[/tex]
<=> [tex]x+2\sqrt{3}=y+z+2\sqrt{yz}[/tex]
<=> [tex]x-y-z+2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}[/tex]
Đặt [TEX]x-y-z = a[/TEX] => [TEX]a[/TEX] thuộc Z
<=> [tex]a+2\sqrt{3}=2\sqrt{yz}[/tex]
<=> [tex]a^2+4a\sqrt{3}+12=4yz[/tex]
<=> [tex]a^2-4yz+12=-4a\sqrt{3}[/tex]
+) Nếu [TEX]a[/TEX] khác [TEX]0[/TEX] thì VP là số vô tỉ, VT là số hữu tỉ => vô lý
+) Nếu [TEX]a = 0[/TEX] thì ta có: [tex]x-y-z=0[/tex] và [tex]yz=3[/tex]
Vì [TEX]y,z[/TEX] là các số tự nhiên nên [TEX](y,z)=(1,3)=(3,1) => x=y+z=1+3=4[/TEX]
Vậy tập nghiệm tự nhiên của pt là [TEX](x;y;z)=(4;3;1)=(4;1;3)[/TEX]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
