Tìm n

[ooo_ooo_9889]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

đã giải


Tìm n thuộc N để A = [tex] 2^8 [/tex] + [tex] 2^{11} [/tex] + [tex] 2^n [/tex] là số chính phương

 

[vngocvien97]

+ Xét $n>8$
Ta có: $2^8+2^{11}+2^n=2^8(1+2^3+2^{n-8})=16^2(9+2^{n-8})$ để $N$ là số chính phương thì $9+2^{n-8}$ là số chính phương.
$9+2^{n-8}=t^2$\Rightarrow$2^{n-8}=(t-3)(t+3)$
\Rightarrow $t+3=2^x$ và $t-3=2^y$
\Rightarrow$2^x-2^y=6$\Leftrightarrow$2^y(2^{x-y}-1)=6$ với $x>y$\geq$0$
\Rightarrow$$y=1,x=3,t=5,n=12$$
+ Xét $n$\leq$8$
-Nếu $n$ chẵn: $2^8+2^{11}+2^n=2^n(2^{8-n}+2^{11-n}+1)$
Tương tự như trên: $(2^{8-n}+2^{11-n}+1)=h^2$ $(h \in \ N^*)$
\Leftrightarrow$2^{8-n}.3^2=h^2-1$
\Rightarrow$h^2-1$ là số chính phương.Vô lí! Vì $(h-1)^2< h^2-1<h^2.$
-Nếu $n$ lẻ: $N=2^{n-1}(2^{9-n}+2^{11-n}+2)$
Tương tự:$(2^{9-n}+2^{11-n}+2)$ là số chính phương $(**)$
Mà $(2^{9-n}+2^{11-n}+2)$ chia hết cho $2$ nhưng $(2^{9-n}+2^{11-n}+2)$ không chia hết cho $4$
Nên $(**)$ vô lí! Vậy $n=12$ là giá trị duy nhất cần tìm.